Enunciado

Esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as condições dadas.

lim x → 0 - ⁡ f x = 2               lim x → 0 + ⁡ f x = 0                         lim x → 4 - ⁡ f x = 3             lim x → 4 + ⁡ f x = 0          

    f 0 = 2                               f 4 = 1          

Passo 1

Bom pessoal, vamos aos limites!

Queremos um gráfico com as características que ele dá no enunciado, então primeiro, vamos entender cada uma delas:

  • lim x → 0 - ⁡ f x = 2         Isto quer dizer que quando x   se aproxima do eixo y da esquerda pra direita, f ( x ) tende ao valor 2.
  • lim x → 0 + ⁡ f x = 0         Isto quer dizer que quando x   se aproxima do eixo y da direita pra esquerda, f ( x ) tende ao valor 0.
  • lim x → 4 - ⁡ f x = 3           Isto quer dizer que quando o x se aproxima do valor 4 da esquerda para a direita, f ( x ) tende ao valor 3.
  • lim x → 4 + ⁡ f x = 0                   Isto quer dizer que quando o x se aproxima do valor 4 da direita para a esquerda, f ( x ) tende ao valor 0.
  • E temos também 2 pontos definidos da função: f 0 = 2 e f 4 = 1
  • Agora vamos ver como essas informações se combinam no passo 2.

    Passo 2

    Essas duas informações nos dizem que no ponto x = 0 temos uma descontinuidade. Os limites laterais são diferentes e a função vai ter um salto.

  • lim x → 0 - ⁡ f x = 2         quando x   se aproxima do eixo y pela esquerda , f ( x ) tende a 2.
  • lim x → 0 + ⁡ f x = 0         quando x   se aproxima do eixo y pela direita, f ( x ) tende a 0.
  • A mesma conclusão pode ser tirada do ponto x = 4 . Os limites laterais são diferentes e temos uma descontinuidade.

  • lim x → 4 - ⁡ f x = 3           quando x se aproxima de 4 pela esquerda, f ( x ) tende a 3.
  • lim x → 4 + ⁡ f x = 0           quando x se aproxima de 4 pela direita, f ( x ) tende a 0.

Ta mais que curvas são essas? A gente só tem limites, não tem nenhuma função.

Pois é, você pode escolher quaisquer curvas, desde que os limites dados pelo enunciado sejam verdadeiros. Repara que o enunciado pediu UM EXEMPLO!

Passo 2

Então considerando as descontinuidades nos pontos x = 0 e x = 4 , podemos então esboçar a curva.

Lembrando que o valor da função nesses pontos é onde vamos preencher a bolinha no gráfico.

f 0 = 2

f 4 = 1

Resposta

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