41. Prove o Teorema 4.4.3 (ii)

Passo 1

Primeiro vamos ver qual é o teorema que ele quer que provemos.

O teorema diz o seguinte:

“Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b):

  1. Se f ' x > 0 para todo x em (a,b), então f será crescente em [a,b];
  2. Se f ' x < 0 para todo x em (a,b), então f será decrescente em [a,b];”

O enunciado quer que provemos o item dois.

Passo 2

Para começar, sejam x 1 e x 2 dois números quaisquer no intervalo   [ a , b ] , tais que x 1 > x 2 .

Então, f é contínua em [ x 1 , x 2 ] e derivável em ( x 1 ,   x 2 ) .

Passo 3

Para prosseguirmos precisamos usar o teorema do valor médio, que diz:

Se f é uma função contínua em [ a , b ] , e derivável em ( a ,   b ) então existe c pertencente a ( a ,   b ) tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto ( c , f c ) é paralela à reta que passa por ( a , f a ) e ( b , f b ) , isto é:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Passo 4

Usando o resultado do teorema do valor médio a nosso favor, segue que existe um número c em ( x 1 ,   x 2 ) , tal que

f ' c = f x 2 - f ( x 1 ) x 2 - x 1

Como x 1 > x 2 , então x 2 - x 1 < 0 . Supondo que, f ' c > 0 , temos que f x 2 - f x 1 < 0 , sendo assim f x 2 < f x 1 .

Acabamos de mostrar que f x 2 < f x 1 sempre que x 1 > x 2 , então pela definição 4.4.1 do Capítulo 4, seção 4 do livro, f é decrescente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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