Enunciado

(Função arco-co-seno). A função f x = cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π , é inversível e sua inversa é a função g x = arccos ⁡ x , - 1 < x < 1 .

  1. Calcule arccos ' ⁡ x
  2. Esboce o gráfico de g

Passo 1

  1. Vamos calcular f ' x , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Assim:

f ' x = cos ⁡ x = - sen ⁡ x

Vamos encontrar a inversa g :

g ' x = 1 f ' g x = 1 - sen ⁡ arccos ⁡ x

Agora vamos fazer uma manipulação através da identidade trigonométrica fundamental:

cos 2 ⁡ arccos ⁡ x + sen 2 ⁡ arccos ⁡ x = 1 → x 2 + sen 2 ⁡ arccos ⁡ x = 1 → sen 2 ⁡ arccos ⁡ x = 1 - x 2 → sen ⁡ arccos ⁡ x = 1 - x 2

Substituindo em g ' x :

g ' x = 1 f ' g x = 1 - sen ⁡ arccos ⁡ x = - 1 1 - x 2

Com - 1 < x < 1 .

Passo 2

  1. Vamos esboçar o gráfico de g atribuindo valores entre - 1 < x < 1 :

Resposta

  1. g ' x = - 1 1 - x 2
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Se f x = x k , onde k é um inteiro positivo ímpar, prove que f não tem extremos relativos.
Ache a e b , tais que a função definida por f x = x 3 + a x 2 + b Tenha um extremo relativo em 2,3
a ) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira b ) determine os valores nos quais os extremos relativos ocorrem c ) determine os intervalos nos quais f é crescente d ) determine o
A função f é crescente no intervalo I . Prove que a se g x = - f x , então g x será decrescente em I ; b se h x = 1 f x e f x0 em I , então h será decrescente em I .
Demonstre que funções crescentes e decrescentes são injetoras. Ou seja, demonstre que, para quaisquer x 1 e x 2 em I , x 1 ≠ x 2 implica f x 2 ≠ f x 1