Determine a derivada.

f(x) = e^(-x) \* arctg(e^x) / tg(x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h x 2

Onde:

g x = e - x arctg ⁡ e x

e

h x = tg ⁡ x

Assim temos então que:

e - x arctg ⁡ e x tg ⁡ x ' = g ' t h t - g t h ' t h t 2 = e - x arctg ⁡ e x ' tg ⁡ x - e - x arctg ⁡ e x tg ⁡ x ' tg ⁡ x 2

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função exponencial e do polinômio, além da regra da cadeia:

tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

arctg ⁡ x ' = 1 1 + x 2

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Primeiro vamos calcular g ' x , vamos ter que usar a regra do produto:

r x s x ' = r ' x s x + s ' x r x

Com:

r x = e - x

s x = arctg ⁡ e x

Vamos calcular:

g ' x = e - x arctg ⁡ e x ' = r ' x s x + s ' x r x = e - x ' arctg ⁡ e x + arctg ⁡ e x ' e - x = e - x - x ' arctg ⁡ e x + 1 1 + e x 2 e x ' e - x = e - x - x 1 - 1 arctg ⁡ e x + 1 1 + e x 2 e x e - x = e - x - x 0 arctg ⁡ e x + 1 1 + e x 2 e x - x = e - x - 1 arctg ⁡ e x + 1 1 + e x 2 e 0 = - e - x arctg ⁡ e x + 1 1 + e x 2 1 = - e - x arctg ⁡ e x + 1 1 + e 2 x  

Agora para h ' x :

h ' x = tg ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f ' x = e - x arctg ⁡ e x tg ⁡ x ' = e - x arctg ⁡ e x ' tg ⁡ x - e - x arctg ⁡ e x tg ⁡ x ' tg ⁡ x 2 = - e - x arctg ⁡ e x + 1 1 + e 2 x tg ⁡ x - e - x arctg ⁡ e x sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = - e - x arctg ⁡ e x + 1 1 + e 2 x tg ⁡ x - e - x arctg ⁡ e x sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x

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