Enunciado

41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

41. 2 x - 2 2 + y - 1 2 + z - 3 2 = 10 ,   3 ,   3 ,   5

Passo 1

a) Para encontrarmos uma equação do plano tangente, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:

F x x o ,   y o ,   z o x - x o + F y x o ,   y o ,   z o y - y o + F z x o ,   y o ,   z o z - z o = 0

No qual ( x o ,   y o ,   z o ) é o ponto que nos foi dado e F x ,   F y ,   F z são as derivadas parciais que devemos encontrar. Descobrindo quem são essas derivadas parciais no ponto que nos foi dado:

F x ,   y ,   z = 2 x - 2 2 + y - 1 2 + z - 3 2

F x = 4 . x - 2 ⇒ F x 3 ,   3 ,   5 = 4 . 3 - 2 = 4

F y = 2 . y - 1 ⇒ F y 3 ,   3 ,   5 = 2 . 3 - 1 = 4

F z = 2 . z - 3 ⇒ F z 3 ,   3 ,   5 = 2 . 5 - 3 = 4

Passo 2

Tudo bem, agora que descobrimos as derivadas parciais no ponto vamos substituir os valores na expressão do passo 1, saca só:

4 x - 3 + 4 y - 3 + 4 z - 5 = 0

4 x - 12 + 4 y - 12 + 4 z - 20 = 0

4 x + 4 y + 4 z = 44

∴ x + y + z = 11

Que é a equação do plano tangente!

Passo 3

b) Já para encontrarmos uma equação da reta normal, segundo a seção 14.6 do Stewart devemos utilizar a seguinte expressão, pessoal:

x - x o F x x o ,   y o ,   z o = y - y o F y x o ,   y o ,   z o = z - z o F z x o ,   y o ,   z o

Como já calculamos tudo nos passos anteriores, fica tranquilão determinar essa equação da reta normal, se liga:

x - 3 4 = y - 3 4 = z - 5 4

x - 3 = y - 3 = z - 5

E está aí a equação da reta normal!

Resposta

a) x + y + z = 11

b) x - 3 = y - 3 = z - 5

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Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados. y = x 2 ; P 0 1,1 ,P 1 2,4
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados. x 2 - y 2 = 1 ; P 0 2 , 1
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados. x 2 + y 2 = 4 ; P 0 2 , 0
Determinar uma equação para a reta normal à curva dada, nos pontos indicados. x + y = 4 ; P 0 3,1
Determinar uma equação vetorial para a reta normal à superfície dada, nos pontos indicados: x 2 + y 2 = z 2 ; P 0 3,4 , 5