Enunciado

Calcule a integral tripla usando apenas interpretação geométrica e simetria.

∭ C 4 + 5 x 2 y z 2   d V , onde C é a região cilíndrica x 2 + y 2 ≤ 4 , - 2 ≤ z ≤ 2 .

Passo 1

O exercício pede para calcularmos a integral usando apenas argumentos de simetria e interpretação geométrica.

Neste caso, o primeiro passo é quebrar a integral em duas:

I = ∭ C 4   d V + ∭ C 5 x 2 y z 2   d V

Vamos olhar para a segunda integral com carinho: note que o integrando é ímpar em y e par em x e z e que o domínio de integração é simétrico em todas as variáveis. Sendo assim, o fato do integrando ser ímpar em y faz com que essa integral seja zero!

Portanto,

I = 4 ∭ C   d V

Passo 2

A integral que sobrou é o volume de um cilindro de raio r = 2 e altura h = 2 - - 2 = 4 :

∭ C   d V = π ⋅ 2 2 ⋅ 4 = 16 π

Portanto,

I = 4 ⋅ 16 π

Logo,

I = 64 π

Resposta

64 π

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