1.

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.

A reta normal ao gráfico da função

f x , y = e x cos ⁡ y

Em 0,0 , 1 , é dada por - t , 0,1 + t , t ∈ R .

Resolução
2.

A reta normal à superfície x y z = 4 no ponto P = ( 2,2 , 1 ) intercepta o plano x = 0 no ponto :

(a) ( 0,2 , 1 )

(b) ( 0,1 , - 1 )

(c) ( 0,0 , 0 )

(d) ( 0 , - 1,0 )

(e) ( 0,0 , - 3 )

Resolução
3.

A reta r é normal ao cone de equação 2 x - 1 2 + y 2 = z 2 num ponto P e é, também, normal ao elipsoide de equação x - 3 2 + y 2 + z + 3 2 2 = 3 2 no ponto Q = 4,0 , - 4 .

a) Determine uma equação da reta r .

b) Determine as coordenadas do ponto P .

Resolução
4.

Considere a função f : R 2 ⟶ R definida por

f x , y = - 4 y x 2 + y 2 + 3

E cujo gráfico encontra-se na figura abaixo.

Determine a equação da reta normal ao gráfico da função f ( x , y ) no ponto P = 1 , - 2,1 .

Resolução
5.

Determine o ponto, situado no primeiro octante, da superfície de equação

x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 2 = 18

No qual a reta normal é perpendicular ao plano

x + y + z = 10

Resolução
6.

Considere a função

f x , y , z = x 2 + 9 y 2 + z 2

  1. Esboce a superfície de nível S que passa pelo ponto P = 3 , - 1 , - 3 .
  2. Determine o ponto de interseção da reta normal a S que passa pelo ponto P , com o plano z = 0 .
  3. Encontre os pontos da superfície S nos quais o plano tangente a S é paralelo ao plano 2 x + 6 y + 2 z = 1 .
Resolução
7.

Considere a superfície S dada pela equação

cos ⁡ π x - x 2 y + e x z + y z = 4

Quais são as equações do plano tangente e da reta normal a S no ponto 0,1 , 2 ?

  1. 2 x + 2 y + z = 4 e x = 2 t , y = 1 + 2 t , z = 2 + t
  2. x + y + z = 3 e x = 2 t , y = 1 + t , z = 2 + 2 t
  3. 2 x + 2 y + z = 4 e x = t , y = 1 + 2 t , z = 2 + 2 t
  4. 2 x + y + z = 3 e x = t , y = 1 + 2 t , z = 2 + t
  5. Nenhuma das outras alternativas
Resolução
8.

A reta r é normal ao cone de equação 2 x - 1 2 + y 2 = z 2 num ponto P e é, também, normal ao elipsoide de equação x - 3 2 + y 2 + z + 3 2 2 = 3 2 no ponto Q = 4,0 , - 4 .

a) Determine uma equação da reta r .

b) Determine as coordenadas do ponto P .

Resolução
9.

Seja S a superfície dada pela equação x 2 - 2 y 2 + 2 z 2 - 10 = 0 .

a) Existe apenas um ponto A na superfície S tal que a reta normal a S em A contém os pontos 3,0 , 4 e 1 , - 2,0 . Determine o ponto A .

b) Sejam f : R 2 → R e γ : I ⊂ R → R 3 diferenciáveis com ∇ f - 2 , - 1 = b , 1 . Suponha que a imagem de γ é a interseção do gráfico de f com a superfície S , dada no item ( a ) , e que o ponto P = ( - 2 , - 1 , - 2 ) pertente à imagem de γ .

Determine b de modo que os planos tangente ao gráfico de f e à S sejam ortogonais no ponto P e dê uma equação da reta tangente à I m γ no ponto P .

Resolução
10.

Seja S a superfície de equação z = f ( x , y ) , onde f é diferenciável em R 2 . Se a reta

r t = 1 + t , 2 t , 1 + 4 t   ,   t ∈ R

É normal a S em P = ( 1,0 , 1 ) , então

f x 1,0 + f y ( 1,0 )

Vale:

a 3 / 4

b - 3 / 4

c 1 / 2

d - 1 / 2

e N e n h u m a   d a s   d e m a i s   r e s p o s t a s

Resolução
11.

Considere a curva espacial parametrizada por

γ t : R → R 3   ,   γ t = ( 2 cos ⁡ t , - 3 sen ⁡ t ,   e t 3 + t + 1 )

Seja C = traço de γ .

  1. Obtenha f   : R 3 → R e c ∈ R tal que C ⊂ S c = x , y , z ∈ R 3   f x , y , z = c }  
  2. Seja g ( x , y , z ) uma outra função real de 3 variáveis, satisfazendo:
    1. ∂ g ∂ x 2,0 , 2 = a
    2. ∂ g ∂ y 2,0 , 2 = b
    3. ∂ g ∂ z 2,0 , 2 = d
  3. Onde a , b , d ∈ R .

    Seja a composta h t = g ∘ γ t = g γ t , t ∈ R .

    Escreva a derivada h ' ( 0 ) em termo de a , b , d .

  4. Seja g ( x , y , z ) a função dada no item b . Considere também a função h ( t ) definida no item b . Note que h   : R → R é uma função real de uma variável real.

Assuma no presente item que g 2,0 , 2 = 5 . Exiba a equação paramétrica da reta s normal ao gráfico de h em t = 0 (no ponto 0 , h 0 , em termos de a , b , d .

Resolução
12.

2. Seja f x , y , z = z - e x s e n y e P = ( l n 3,3 π / 2,2 ) . Obtenha:

a) ∇ f P

b) A equação de S , a superfície de nível de f que contém P .

c) A equação da reta normal à S em P .

d) A equação do plano tangente à S em P .

Resolução
14.

Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície

sen ⁡ x y + sen ⁡ y z + sen ⁡ x z = 1

Contendo o ponto P = 1 , π 2 , 0

Resolução
15.

Suponha que uma partícula é ejetada da superfície

x 2 + y 2 - z 2 = - 1

A partir do ponto 1,1 , 3 ao longo da direção normal à superfície. Calcule o ponto em que a partícula cruza o plano x y .

Resolução
16.

Considere

f x , y , z = ln ⁡ x 2 + y 2 + z + 1

Sabendo que x 2 + y 2 + z + 1 > 0 .

  1. Esboce a superfície S de nível 0 , ou seja
  2. S = x , y , z ∈ R 3 ; f x , y , z = 0

    No esboço de S , desenhe a curva C = S ∩ { z = - 1 } e parametrize C .

  3. Seja S a superfície do item ( a ) . Encontre a equação cartesiana do plano tangente à superfície S no ponto ( 1,1 , - 2 ) , explicitando o vetor normal neste ponto.
  4. Encontre uma equação paramétrica da reta normal a superfície S no ponto ( 1,1 , - 2 ) .
Resolução
17.

Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável. Sabe-se que a reta normal ao gráfico de f no ponto x 0 , y 0 , f x 0 , y 0 é dada por

r = 3,2 , 1 + λ - 2,3 , 1     ,     λ ∈ R

Assinale a alternativa cuja curva não pode ser a curva de nível de f contendo o ponto x 0 , y 0

  1. γ t = t 3 , t 2 + 2 t + 1 ,   t ∈ R
  2. γ t = sin ⁡ t , cos ⁡ t + 1 ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  3. γ t = t 5 , t 3 + 2 t ,   t ∈ R
  4. γ t = 2 tan ⁡ t , t ,   t ∈ ] - π / 2 , π / 2 ]
  5. γ t = e t ,   t 2 - 3 ,   t ∈ R
Resolução
18.

Considere

f x , y , z = x 2 + y 2 - 2 y + 2 z 2

Sabendo que x 2 + y 2 - 2 y + 2 z 2 > 0 .

  1. Esboce a superfície S de nível 2 , ou seja
  2. S = x , y , z ∈ R 3 ; f x , y , z = 2

    Identifique S como sendo um cone ou um paraboloide ou um hiperboloide ou um elipsoide ou uma esfera.

  3. Seja S a superfície do item ( a ) . Encontre a equação cartesiana do plano tangente à superfície S no ponto ( 1 , 1,1 ) , explicitando o vetor normal neste ponto.
  4. Encontre uma equação paramétrica da reta normal a superfície S no ponto ( 1,1 , 1 ) .
Resolução
19.

Considere a superfície

x + y + z = e x y z

E o ponto ( 0,0 , 1 ) :

  1. Encontre uma equação do plano tangente à superfície no ponto dado
  2. Encontre uma equação da reta normal à superfície no ponto dado.
Resolução
20.

Encontre equações para o plano tangente e para a reta normal à superfície

z = x cos ⁡ y - y e x

Na origem.

Resolução
21.

Seja f x , y = 2 x 2 - 2 y 2 + 4 3 x y - 6

  1. Classifique a matriz A , associada a forma quadrática
  2. Q x , y = 2 x 2 - 2 y 2 + 4 3 x y

    Como estritamente positiva definida ou estritamente negativa definida ou indefinida. Justifique sua resposta.

  3. Encontre uma matriz ortogonal
  4. P = p 11 p 12 p 21 p 22

    Tal que, suas colunas são compostas pelos vetores unitários diretores dos eixos das cônicas f x , y = 0 . Sabendo que através de mudança de coordenadas

    x y = P x ' y '

    (ou seja, tomando x = p 11 x ' + p 12 y ' e y = p 21 x ' + p 22 y ' ), podemos reescrever f x , y na forma

    f ~ x ' , y ' = a x ' 2 + b y ' 2 + c

    Explicite o valor das constantes reais a , b e c e classifique a cônica f x , y = 0 como uma elipse ou uma hipérbole, justificando a resposta.

  5. Escreva a equação paramétrica da reta normal a cônica f x , y = 0 no ponto 3 , 0 .
Resolução
22.

A reta normal à superfície x y z = 4 no ponto P = ( 2,2 , 1 ) intercepta o plano x = 0 no ponto :

(a) ( 0,2 , 1 )

(b) ( 0,1 , - 1 )

(c) ( 0,0 , 0 )

(d) ( 0 , - 1,0 )

(e) ( 0,0 , - 3 )

Resolução
23.

3. Determine a equação do plano tangente e da reta normal à superfície x 2 + x y 2 + y 3 + z + 1 = 0 , contendo o ponto P = 2 , - 3,4 .

Resolução

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