Enunciado

41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

46. x 4 + y 4 + z 4 = 3 x 2 y 2 z 2 ,   1 ,   1 ,   1

Passo 1

a) A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:

x - x o ,   y - y o ,   z - z o ∙ ∇ f = 0

Então o que devemos descobrir aqui é quanto vale esse gradiente! Ele pode ser calculado assim:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

As derivadas no ponto em questão serão:

f x ,   y ,   z = x 4 + y 4 + z 4 - 3 x ² y ² z ²

f x = 4 x 3 - 6 x y 2 z 2 ⇒ f x 1 ,   1 ,   1 = 4 - 6 = - 2

f y = 4 y 3 - 6 x 2 y z 2 ⇒ f y 1 ,   1 ,   1 = 4 - 6 = - 2

f z = 4 z 3 - 6 x 2 y 2 z ⇒ f z 1 ,   1 ,   1 = 4 - 6 = - 2

∴ ∇ f 1 ,   1 ,   1 = ( - 2 ,   - 2 ,   - 2 )

Passo 2

Agora que descobrimos o gradiente da função, vamos realizar aquele produto escalar que escrevemos lá em cima, saca só:

x - 1 ,   y - 1 ,   z - 1 ∙ - 2 ,   - 2 ,   - 2 = 0

- 2 x + 2 - 2 y + 2 - 2 z + 2 = 0

- 2 x - 2 y - 2 z = - 6

∴ x + y + z = 3

Que é a equação do plano tangente!

Passo 3

b) Já para encontrarmos a equação da reta normal devemos fazer:

x ,   y ,   z = x o ,   y o ,   z o + t . ∇ f

Substituindo os valores que temos:

x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + t . ( - 2 ,   - 2 ,   - 2 )

∴ x = 1 - 2 t ,   y = 1 - 2 t   e   z = - 2 t

Que são as equações paramétricas da reta normal!

Resposta

a) x + y + z = 3

b) x = 1 - 2 t ,   y = 1 - 2 t   e   z = - 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que as pirâmides cortadas do primeiro octante por qualquer plano tangente à superfície x y z = 1 em pontos do primeiro octante têm todas o mesmo volume.
Existem pontos no hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1 nos quais o plano tangente é paralelo ao plano z = x + y ?