Enunciado

Em qual ponto do elipsoide x 2 + y 2 + 2 z 2 = 1 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + z = 1 ?

Passo 1

De início vamos encontrar o vetor gradiente do elipsoide, tudo bem? Fazendo isso, teremos:

f x ,   y ,   z = x 2 + y 2 + 2 z ²

f x = 2 x

f y = 2 y

f z = 4 z

Sendo assim, o vetor gradiente será:

∇ f x ,   y ,   z = ( 2 x ,   2 y ,   4 z )

Em um dado ponto ( x o ,   y o ,   z o ) temos:

∇ f x o ,   y o ,   z o = ( 2 x o ,   2 y o ,   4 z o )

Passo 2

Se olharmos para o plano que nos foi dado, poderemos tirar um vetor do seguinte modo:

c ( 1 ,   2 ,   1 )

Para serem paralelos, temos que:

2 x o ,   2 y o ,   4 z o = c ( 1 ,   2 ,   1 )

Igualando as coordenadas:

x o = c 2 ; y o = c   e   z o = c 4

Substituindo os valores na equação do elipsoide, teremos:

x o 2 + y o 2 + 2 z o 2 = 1

c 2 2 + c 2 + 2 . c 4 2 = 1

c 2 4 + c 2 + c 2 8 = 1 ⇒ 2 c 2 + 8 c 2 + c 2 = 8

11 c 2 = 8

∴ c = 2 2 11 = 2 22 11

Passo 3

Agora que descobrimos c , fica bem tranquilo acharmos o ponto em questão, se liga:

x o = c 2 = 2 22 11 2 = 22 11

y o = c = 2 22 11

z o = c 4 = 2 22 11 4 = 22 22

Sendo assim, o ponto será em:

x o ,   y o ,   z o = 22 11 , 2 22 11 , 22 22    

Resposta

22 11 , 2 22 11 , 22 22

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