Enunciado

Mostre que as pirâmides cortadas do primeiro octante por qualquer plano tangente à superfície x y z = 1 em pontos do primeiro octante têm todas o mesmo volume.

Passo 1

Podemos determinar a equação do plano tangente a uma superfície de nível do tipo F x , y , z = k em ( x 0 , y 0 , z 0 ) pela fórmula 19 desta seção

F x x 0 , y 0 , z 0 x - x 0 + F y x 0 , y 0 , z 0 y - y 0 + F z x 0 , y 0 , z 0 z - z 0 = 0

No nosso caso temos que

F x , y , z = x y z

e k = 1 .

Passo 2

Calculando as derivadas parciais

F x = y z

F y = x z

F z = x y

Substituindo na equação do plano

y 0 z 0 x - x 0 + x 0 z 0 y - y 0 + x 0 y 0 z - z 0 = 0

Distibuindo as multiplicações

x y 0 z 0 - x 0 y 0 z 0 + y x 0 z 0 - x 0 y 0 z 0 + z x 0 y 0 - x 0 y 0 z 0 = 0

x y 0 z 0 + y x 0 z 0 + z x 0 y 0 = 3 x 0 y 0 z 0

Passo 3

Agora vamos achar os vértices da pirâmide. Um deles é a origem, já que a pirâmide é limitada pelo primeiro octante. Para achar os outros, vamos zerar duas variáveis e encontrar quanto vale a terceira.

Para x = 0 e y = 0

z x 0 y 0 = 3 x 0 y 0 z 0

z = 3 z 0

Para x = 0 e z = 0

y x 0 z 0 = 3 x 0 y 0 z 0

y = 3 y 0

Para y = 0 e z = 0

x y 0 z 0 = 3 x 0 y 0 z 0

x = 3 x 0

Então temos a seguinte pirâmide

Passo 4

O volume da pirâmide é dado por

V = 1 3 B h

Onde B é a área da base

B = 3 x 0 3 y 0 2 = 9 2 x 0 y 0

E temos que h = z 0 , então o volume da pirâmide é

V = 1 3 9 2 x 0 y 0 3 z 0

V = 9 2 x 0 y 0 z 0

Mas como ( x 0 , y 0 , z 0 ) obedece x y z = 1 , temos que x 0 y 0 z 0 = 1 , logo

V = 9 2

Ou seja, o volume da pirâmide não depende do ponto que gera o plano tangente.

Resposta

V = 9 2

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Determine os planos tangentes ao gráfico de f x , y = 2 + x 2 + y 2 e que contenham o eixo O x .
β é um plano tangente aos gráficos de f x , y = 2 + x 2 + y 2 e g x , y = - x 2 - y 2 . Mostre que a 2 + b 2 = 1 , sendo a , b , f a , b o ponto em que β tangencia o gráfico de f .
Considere a função f x , y = 1 - x 2 - y 2 . Seja α o plano tangente ao gráfico de f no ponto a , b , 1 - a 2 - b 2 , com a0 ,b0 e a 2 + b 21 . Seja V o volume do tetraedro determinado por α e pelos p
Seja z = f x , y diferenciável em ( x 0 , y 0 ) . Seja S a função afim dada por S x , y = a x - x 0 + b y - y 0 + c . Suponha que f x , y = S x , y + E x , y Com lim x , y → x 0 , y 0 ⁡ E x , y x , y
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. z = xs e n( x + y ) ,( - 1 ,1 ,0 )