Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.6 - Ex. 58
Mostre que as pirâmides cortadas do primeiro octante por qualquer plano tangente à superfície em pontos do primeiro octante têm todas o mesmo volume.
Passo 1
Podemos determinar a equação do plano tangente a uma superfície de nível do tipo em pela fórmula 19 desta seção
No nosso caso temos que
e .
Passo 2
Calculando as derivadas parciais
Substituindo na equação do plano
Distibuindo as multiplicações
Passo 3
Agora vamos achar os vértices da pirâmide. Um deles é a origem, já que a pirâmide é limitada pelo primeiro octante. Para achar os outros, vamos zerar duas variáveis e encontrar quanto vale a terceira.
Para e
Para e
Para e
Então temos a seguinte pirâmide
Passo 4
O volume da pirâmide é dado por
Onde é a área da base
E temos que , então o volume da pirâmide é
Mas como obedece , temos que , logo
Ou seja, o volume da pirâmide não depende do ponto que gera o plano tangente.