Enunciado

41-46. Encontre uma equação a) do plano tangente e b) da reta normal à superfície dada no ponto especificado.

45. x + y + z = e x y z ,   0 ,   0 ,   1

Passo 1

Oieee, vamos resolver essa atividade.

A gente precisa encontrar aqui o plano tangente e a reta normal a superfície:

x + y + z = e x y z

No ponto:

0 ,   0 ,   1

A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:

x - x o ,   y - y o ,   z - z o ∙ ∇ f = 0

Onde:

∇ f = f x , f y , f z

Veja então que precisaremos calcular as derivadas parciais aqui. A equação da reta normal a superfície em um ponto genérico x 0 , y 0 , z 0 será dada por:

x - x 0 f x x 0 , y 0 , z 0 = y - y 0 f y x 0 , y 0 , z 0 = z - z 0 f z x 0 , y 0 , z 0

Vamos partir para os cálculos então!

Passo 2

a) A equação do plano tangente à superfície dada no ponto específicado pode ser dada da seguinte forma, galera:

x - x o ,   y - y o ,   z - z o ∙ ∇ f = 0

Então o que devemos descobrir aqui é quanto vale esse gradiente! Ele pode ser calculado assim:

∇ f = f x ,   f y ,   f z

As derivadas no ponto em questão serão:

f x ,   y ,   z = x + y + z - e x y z

Derivando em relação a x e considerando todas as outras variáveis como constantes:

f x = 1 - y z e x y z

Aplicando o ponto 1,1 , 1 que é o nosso ponto genérico:

f x 0 ,   0 ,   1 = 1 - 0 = 1

Derivando em relação a y e considerando todas as outras variáveis como constantes:

f y = 1 - x z e x y z

Aplicando o ponto 1,1 , 1 que é o nosso ponto genérico:

f y 0 ,   0 ,   1 = 1 - 0 = 1

Derivando em relação a z e considerando todas as outras variáveis como constantes:

f z = 1 - x y e x y z

Aplicando o ponto 1,1 , 1 que é o nosso ponto genérico:

f z 0 ,   0 ,   1 = 1 - 0 = 1

Teremos então o gradiente:

∇ f 0 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   1 ,   1 )

Passo 3

Agora que descobrimos o gradiente da função, vamos realizar aquele produto escalar que escrevemos lá em cima, saca só:

x - x o ,   y - y o ,   z - z o ∙ ∇ f = 0

Simplificando:

x - 0 ,   y - 0 ,   z - 1 ∙ 1 ,   1 ,   1 = 0

x + y + z - 1 = 0

x + y + z = 1

Que é a equação do plano tangente!

Passo 4

b) Já para encontrarmos a equação da reta normal devemos fazer:

x ,   y ,   z = x o ,   y o ,   z o + t ⋅ ∇ f

Substituindo os valores que já temos:

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   1 + t ⋅ ( 1 ,   1 ,   1 )

Então a equação da reta tangente é:

x = t   ;   y = t   ;   z = 1 + t

Que são as equações paramétricas da reta normal!

Resposta

a) x + y + z = 1

b) x = t ,   y = t   e   z = 1 + t

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