Enunciado

Encontre os pontos nas curvas dadas onde a reta tangente é horizontal ou vertical.

61. r = 3 c o s θ

Passo 1

Bom, para fazermos isso, vamos primeiro usar as coordenadas cartesianas e as relações para coordenadas polares:

x = r c o s θ

y = r s e n θ

Substituindo a função que foi dada de r :

x = 3 c o s θ c o s θ

y = 3 c o s θ s e n θ

Passo 2

Agora basta derivarmos cada uma das coordenadas em relação a θ e igualarmos a zero, assim encontramos as retas tangentes horizontais para o caso de y e verticais para o caso de x:

d x d θ = - 6 s e n θ c o s θ = 0

Usando a relação:

s e n 2 θ = 2 s e n θ c o s θ

Ficamos com:

- 3 s e n 2 θ = 0

s e n 2 θ = 0

Fazendo o arco de seno resulta:

2 θ = 0   o u   2 θ = π

θ = 0   o u π 2

Agora basta substituir esses resultados na equação dada no enunciado para encontrarmos o r correspondente:

r = 3 cos ⁡ 0 = 3

r = 3 cos ⁡ π 2 = 0

As coordenadas polares para os pontos de interseção das retas tangentes verticais vão ser:

3,0   e   0 , π 2

Passo 3

Repetindo o mesmo processo pra y, fazemos a derivada e igualamos a zero:

d y d θ = - 3 s e n 2 θ + 3 cos 2 ⁡ θ = 0

Fazendo fator comum:

- 3 s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ = 0

Aplicando a propriedade trigonométrica:

s e n 2 θ - cos 2 ⁡ θ = c o s 2 θ

Ficamos com:

- 3 s e n 2 θ = 0

s e n 2 θ = 0

Aplicando o arco seno:

2 θ = π 2   o u 3 π 2

θ = π 4   o u 3 π 4

E substituindo esses valores na função de r a gente vai ter:

r = 3 cos ⁡ π 4 = 3 2 2

r = 3 cos ⁡ 3 π 4 = - 3 2 2

As coordenadas dos pontos em que a reta tangente é horizontal são:

3 2 2 ,   π 4   e   - 3 2 2 , 3 π 4

Resposta

v e r t i c a i s :   3,0   e   0 , π 2

h o r i z o n t a i s :   3 2 2 ,   π 4   e   - 3 2 2 , 3 π 4

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