Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Passo 1

Faaaala! Bora dar uma olhadinha nessa questão!

Precisamos calcular as assíntotas horizontais e verticais dessa curva aqui:

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Mas como fazemos isso?

Pra encontrar as assíntotas horizontais, precisamos calcular o limite da nossa função em + ∞ e em - ∞ . Se encontrarmos um valor finito, então tem uma assíntota horizontal ali! Ou seja:

Se lim x → ∞   ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = L , então y = L é uma assíntota horizontal!

E as assíntotas verticais? Esse tipo de assíntota só pode existir em pontos onde a nossa função não está definida. Então precisamos encontrar esses pontos e verificar o limite da nossa função neles. Se esse limite explodir pra + ∞ ou - ∞ , então temos uma assíntota vertical ali! Então:

Se lim x → a ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2 = ± ∞ , então x = a é uma assíntota vertical.

Legal! Vamos atacar um de cada vez!

Passo 2

Vamos começar com as assíntotas horizontais. Então precisamos calcular os limites em + ∞ e em - ∞ . Vamos lá!

lim x → + ∞   ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Como temos uma divisão de polinômios e x → ∞ , podemos usar aquela brincadeira de desprezar os termos de menor grau. Logo,

L = lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 x 2

Isto é,

L = lim x → + ∞   ⁡ 2 = 2

Então isso nos diz que temos uma assíntota horizontal em y = 2 .

Se repetirmos o cálculo para x → - ∞ , encontramos o mesmo resultado. Portanto, y = 2   é a nossa única assíntota horizontal!

Passo 3

Agora vamos analisar as assíntotas verticais. Pra isso, precisamos investigar se tem algum ponto em que a nossa função não está definida. Vamos dar uma olhada:

y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Nossa curva não vai estar definida quando o denominador é zero, isto é:

x 2 + x - 2 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

x = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 2 2 ⋅ 1

Então,

x = 1 ou x = - 2

Agora vamos checar os limites da nossa função nesses pontos. Vamos começar com x → 1 :

lim x → 1 ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Se aplicarmos o limite, percebemos que o numerador tende a 2 , enquanto o denominador tende a 0 , o que significa que esse limite explode pro infinito. Se a questão estiver pedindo pra calcularmos o limite exatamente, precisamos separar nos limites laterais pra estudar os sinais do infinito. Mas nesse caso, como só queremos saber onde estão as assíntotas, essa análise já é suficiente pra dizermos que x = 1 é uma assíntota vertical.

Agora vamos checar x → - 2 :

lim x → - 2 ⁡ 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2

Aplicando o limite, descobrimos que o numerador tende a 5 e o denominador tende a 0 . Novamente, o limite explode pro infinito e isso é suficiente pra podermos afirmar que x = - 2 é uma assíntota vertical.

Portanto, temos duas assíntotas verticais:

x = 1 e x = - 2

Passo 4

Conferindo em um gráfico, temos:

Pelo gráfico, podemos confirmar que as assíntotas estão compatíveis com o que encontramos.

Resposta

Assíntota horizontal:

y = 2

Assíntotas verticais:

x = 1 e x = - 2

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