Enunciado

30. Encontre o limite ou demonstre que não existe.

lim x → ∞ ⁡ e - x + 2 cos ⁡ 3 x

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos que calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ e - x + 2 cos ⁡ 3 x

Ou então, provar que ele não existe! Mas antes vamos tentar simplificar esse limite!

Temos uma limite de uma soma, como o limite da soma é a soma de limites

lim x → ∞ ⁡ e - x + l i m x → ∞   2 cos ⁡ 3 x

Podemos ainda tirar essa constante do segundo limite:

lim x → ∞ ⁡ e - x + 2 l i m x → ∞   cos ⁡ 3 x

Agora podemos tentar calcular cada limite separadamente e depois juntar tudo!

Passo 2

Para a primeira parte, temos o seguinte:

lim x → ∞ ⁡ e - x = lim x → ∞ ⁡ 1 e x

Assim,

lim x → ∞ ⁡ e - x = 0

Passo 3

Na segunda parte temos:

l i m x → ∞   cos ⁡ 3 x

O problema aqui é que cos ⁡ 3 x   é uma função senoidal que, quando x tende a infinito vai ficar variando infinitamente entre - 1 e 1 ! Portanto o esse limite não existe e consequentemente:

lim x → ∞ ⁡ e - x + 2 cos ⁡ 3 x = lim x → ∞ ⁡ e - x + 2 l i m x → ∞   cos ⁡ 3 x

Não irá existir também! Portanto, o limite não existe!

Resposta

∄   lim x → ∞ ⁡ e - x + 2 cos ⁡ 3 x

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