Enunciado

14. Use o método de newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.

A raiz de 2,2 x 5 - 4,4 x 3 + 1,3 x 2 - 0,9 x - 4,0 = 0 no intervalo [ - 2 , - 1 ]

Passo 1

Nossa função é a seguinte:

f x = 2,2 x 5 - 4,4 x 3 + 1,3 x 2 - 0,9 x - 4,0

Derivando, temos:

f ' x = 11,0 x 4 - 13,2 x 2 + 2,6 x - 0,9

Passo 2

Agora é só usar aquela formula da teoria:

x n = x n - 1 - f x n - 1 f ' x n - 1

Logo,

x n = x n - 1 - 2,2 x n - 1 5 - 4,4 x n - 1 3 + 1,3 x n - 1 2 - 0,9 x n - 1   - 4,0 11,0 x n - 1 4 - 13,2 x n - 1 2 + 2,6 x n - 1 - 0,9

Passo 3

Para começar, vamos pegar x 1 no meio do nosso intervalo. Logo,

x 1 = 1,5

Agora vamos usar aquela expressão do Passo 1!

x 2 = x 1 - 2,2 x 1 5 - 4,4 x 1 3 + 1,3 x 1 2 - 0,9 x 1   - 4,0 11,0 x 1 4 - 13,2 x 1 2 + 2,6 x 1 - 0,9

Fazendo as contas:

x 2 ≈ - 1 , 4253

Agora o processo é análogo para achar o x 3 , Assim:

x 3 ≈ - 1 , 405490

Para x 4 :

x 4 ≈ - 1 , 404124

Para x 5 :

x 5 ≈ - 1 , 404118

Para x 6 :

x 6 ≈ - 1 , 404118

Opa, esses últimos deram iguais. Logo, - 1 , 404118 é a representação da raiz com 6 casas decimais.

Resposta

- 1 , 404118

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