Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 45
43-48. Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
45.
Passo 1
Essa série não se trata de uma série geométrica, pessoal. Dessa forma, o que devemos fazer é calcular as somas parciais dessa série assim como já estamos acostumados! Pela definição, temos que:
Para simplificarmos essa expressão vamos utilizar decomposição em frações parciais. Temos o seguinte:
Podemos escrever isso como:
Fazendo o MMC, teremos:
Sendo assim, temos que:
Tomando como nossa variável, teremos o seguinte sistema:
Portanto a conclusão que chegamos é de que e , não é mesmo? Substituindo os valores de e , teremos:
Ufa, agora sim simplificamos essa fração! O problema de utilizarmos a fração do membro direito, ou seja, a razão com um produto no denominador, é que a análise fica bem mais complicada! Se separarmos-a em uma soma/subtração podemos utilizar uma das propriedades da somatória para facilitar nosso problema.
Passo 2
Reescrevendo , teremos:
Aplicando valores para , teremos algo do tipo:
Nessa somatória é possível notar que a maioria dos termos vão se cancelar, não é mesmo? Pela lógica, os termos que não vão se anular são:
A partir desses termos, todos os outros são anulados! Assim como o enunciado sugere, isso se trata de uma soma telescópica, pois todos os termos são reduzidos a pouquíssimos termos, assim como um antigo telescópio.
Passo 3
Agora que encontramos a sequência de somas parciais, vamos calcular seu limite!
Os limites de constantes resultam nas próprias constantes, não é mesmo? Para os termos que possuem no denominador, vamos dividir tudo por , saca só:
Como , então teremos:
Portanto, a série dada é convergente e:
E está aí nossa resolução! 😉
Resposta
A série dada é convergente e:
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