Enunciado

43-48. Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.

45. ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 )

Passo 1

Essa série não se trata de uma série geométrica, pessoal. Dessa forma, o que devemos fazer é calcular as somas parciais dessa série assim como já estamos acostumados! Pela definição, temos que:

∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 ) ⇒ s n = ∑ i = 1 n 3 i ( i + 3 )

s n = ∑ i = 1 n 3 i ( i + 3 ) = 3 1 . ( 4 ) + 3 2 . ( 5 ) + 3 3 . ( 6 ) + … + 3 n . ( n + 3 )

Para simplificarmos essa expressão vamos utilizar decomposição em frações parciais. Temos o seguinte:

1 i ( i + 3 )

Podemos escrever isso como:

A i + B i + 3 = 1 i ( i + 3 )

Fazendo o MMC, teremos:

A . i + 3 + B . i i . ( i + 3 ) = 1 i ( i + 3 )

Sendo assim, temos que:

A i + B i + A = 1

Tomando i como nossa variável, teremos o seguinte sistema:

A = 1 A i + B i = 0

Portanto a conclusão que chegamos é de que A = 1 e B = - 1 , não é mesmo? Substituindo os valores de A e B , teremos:

1 i - 1 i + 3 = 1 i ( i + 3 )

Ufa, agora sim simplificamos essa fração! O problema de utilizarmos a fração do membro direito, ou seja, a razão com um produto no denominador, é que a análise fica bem mais complicada! Se separarmos-a em uma soma/subtração podemos utilizar uma das propriedades da somatória para facilitar nosso problema.

Passo 2

Reescrevendo s n , teremos:

s n = ∑ i = 1 n 3 i i + 3 = 3 ∑ i = 1 n 1 i - 1 i + 3

Aplicando valores para i , teremos algo do tipo:

s n = 3 . 1 - 1 4 + 1 2 - 1 5 + 1 3 - 1 6 + 1 4 - 1 7 + … + 1 n - 3 - 1 n + 1 n - 2 - 1 n + 1 +

+ 3 . 1 n - 1 - 1 n + 2 + 1 n - 1 n + 3

Nessa somatória é possível notar que a maioria dos termos vão se cancelar, não é mesmo? Pela lógica, os termos que não vão se anular são:

s n = 3 . 1 + 1 2 + 1 3 - 1 n + 1 - 1 n + 2 - 1 n + 3

A partir desses termos, todos os outros são anulados! Assim como o enunciado sugere, isso se trata de uma soma telescópica, pois todos os termos são reduzidos a pouquíssimos termos, assim como um antigo telescópio.

Passo 3

Agora que encontramos a sequência de somas parciais, vamos calcular seu limite!

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ 3 . 1 + 1 2 + 1 3 - 1 n + 1 - 1 n + 2 - 1 n + 3

Os limites de constantes resultam nas próprias constantes, não é mesmo? Para os termos que possuem n no denominador, vamos dividir tudo por n , saca só:

lim n → ∞ ⁡ 3 . 1 + 1 2 + 1 3 - 1 n n n + 1 n - 1 n n n + 2 n - 1 n n n + 3 n = lim n → ∞ ⁡ 3 . 1 + 1 2 + 1 3 - 1 n 1 + 1 n - 1 n 1 + 2 n - 1 n 1 + 3 n

Como lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0 , então teremos:

lim n → ∞ ⁡ 3 . 1 + 1 2 + 1 3 - 1 n 1 + 1 n - 1 n 1 + 2 n - 1 n 1 + 3 n = 3 * 11 6

Portanto, a série dada é convergente e:

∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 ) = 3 * 1 1 6

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

A série dada é convergente e:

∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 3 ) = 33 6

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