Enunciado

27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

28. 1 3 + 2 9 + 1 27 + 2 81 + 1 243 + 2 729 + …

Passo 1

Então galera, para determinarmos se a série é convergente ou divergente devemos fazer o teste de divergência. Nesse teste descobriremos se a série em questão é divergente ou não. Se ela for divergente, tudo bem, então é! No entanto, se ela não for divergente, a única hipótese possível é de que ela é convergente. Essa é a técnica que devemos utilizar, beleza? O teste supracitado nos diz:

“Se lim n → ∞ ⁡ a n = ∄ ou se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série é divergente.”

Caso a série seja convergente, então devemos calcular sua soma, assim como o enunciado nos pede. As séries podem ter algumas caras, dentre elas existem dois tipos que mais aparecem; a primeira é a série convencional mesmo e a segunda é a série geométrica. Para a convencional a soma é calculada da seguinte forma:

∑ i = 1 n a i = s n

∑ n = 1 ∞ a n = lim n → ∞ ⁡ s n

Em outras palavras, basta descobrirmos a expressão que define a sequência de somas parciais ( s n ) e calcular seu limite com n → ∞ . Para a série geométrica, temos que:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + …

No qual r é a relação comum e a é o primeiro termo da sequência. Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Agora que já temos a teoria necessária em mãos, então vamo que vamo!

Passo 2

Antes de vermos se a série é convergente ou divergente, vamos descobrir uma expressão para s n , ok? A soma que nos foi dada é:

1 3 + 2 9 + 1 27 + 2 81 + 1 243 + 2 729 + …

Essa soma difere um pouco dos outros tipos porque ela é composta de duas somatórias, galera. Podemos reescrever essa soma como:

1 3 + 1 27 + 1 243 + … + 2 9 + 2 81 + 2 729 + …

1 3 1 + 1 3 3 + 1 3 5 + … + 2 3 2 + 2 3 4 + 2 3 6 + …

Para a primeira podemos tirar que: o numerador não se altera, ou seja, é sempre 1 , e o denominador é composto apenas por expoentes ímpares na base 3 . Sendo assim, o fator do denominador pode ser escrito como 3 2 n - 1 .

Para a segunda podemos tirar que: assim como na primeira soma, o numerador não se altera, ou seja, é sempre 2 , e o denominador é composto apenas por expoentes pares na base 3. Sendo assim, o fator do denominador pode ser escrito como 3 2 n .

Dessa forma, nossa expressão será:

s n = 1 3 2 n - 1 + 2 3 2 n ⇒ ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n - 1 + 2 3 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n - 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n

Simplificando:

∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n - 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 × 3 2 n - 2 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 9 × 3 2 n - 2 =

∑ n = 1 ∞ 1 3 . 1 9 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 9 . 1 9 n - 1

Passo 3

Assim como relembrado no passo 1, galera, as duas somatórias são séries geométricas. Sendo assim, devemos calcular r para cada uma para ver se são convergentes. Para a primeira somatória, temos que:

∑ n = 1 ∞ 1 3 . 1 9 n - 1 = 1 3 + 1 27 + 1 243 + … = a + a r + a r 2 + …

Igualando os termos, teremos:

a = 1 3

a r = 1 27

Substituindo a , teremos:

1 3 . r = 1 27

r = 1 9

Disso podemos tirar que r = 1 9 < 1 , então a série é convergente. Para a segunda somatória, temos que:

∑ n = 1 ∞ 2 9 . 1 9 n - 1 = 2 9 + 2 81 + 2 729 + … = a + a r + a r 2 + …

Igualando os termos, teremos:

2 9 = a

a r = 2 81

Substituindo a , teremos:

2 9 . r = 2 81

r = 1 9

Disso podemos tirar que r = 1 9 < 1 , então a série também é convergente.

Passo 4

Por fim, calculando a soma das séries utilizando o raciocínio do passo 1, ou seja:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Teremos que:

∑ n = 1 ∞ 1 3 . 1 9 n - 1 = 1 3 1 - 1 9 = 9 8.3 = 3 8

E para a segunda:

∑ n = 1 ∞ 2 9 . 1 9 n - 1 = 2 9 1 - 1 9 = 2.9 9.8 = 2 8

Somando os dois resultados, teremos:

∑ n = 1 ∞ 1 3 . 1 9 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 9 . 1 9 n - 1 = 3 8 + 2 8 = 5 8

E esse é o nosso resultado! 😉

Resposta

1 3 + 2 9 + 1 27 + 2 81 + 1 243 + 2 729 + … é   c o n v e r g e n t e

∑ n = 1 ∞ 1 3 . 1 9 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ 2 9 . 1 9 n - 1 = 5 8

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