Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 11.2 - Ex. 34

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27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

34. ∑ n = 1 ∞ 0,8 n - 1 - 0,3 n

Passo 1

Então galera, para determinarmos se a série é convergente ou divergente devemos fazer o teste de divergência. Nesse teste descobriremos se a série em questão é divergente ou não. Se ela for divergente, tudo bem, então é! No entanto, se ela não for divergente, a única hipótese possível é de que ela é convergente. Essa é a técnica que devemos utilizar, beleza? O teste supracitado nos diz:

“Se lim n → ∞ ⁡ a n = ∄ ou se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 , então a série é divergente.”

Caso a série seja convergente, então devemos calcular sua soma, assim como o enunciado nos pede. As séries podem ter algumas caras, dentre elas existem dois tipos que mais aparecem, a primeira é a série convencional mesmo e a segunda é a série geométrica. Para a convencional a soma é calculada da seguinte forma:

∑ i = 1 n a i = s n

∑ n = 1 ∞ a n = lim n → ∞ ⁡ s n

Em outras palavras, basta descobrirmos a expressão que define a sequência de somas parciais ( s n ) e calcular seu limite com n → ∞ . Para a série geométrica, temos que:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + …

No qual r é a relação comum e a é o primeiro termo da sequência. Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Agora que já temos a teoria necessária em mãos, então vamo que vamo!

Passo 2

Essa série está com um carinha de série geométrica em! Na realidade, não está nem com cara, é certeza que se trata desse tipo de série! Reescrevendo de forma mais simplificada, teremos:

∑ n = 1 ∞ 0,8 n - 1 - 0,3 n = ∑ n = 1 ∞ 0,8 n - 1 - ∑ n = 1 ∞ 0,3 n

Para a primeira somatória, temos que r = 0,8 < 1 , então é convergente.

Para a segunda somatória, temos que r = 0,3 < 1 , então é convergente.

Descobrindo a soma:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

∑ n = 1 ∞ 0,8 n - 1 - ∑ n = 1 ∞ 0,3 n = 1 1 - 0,8 - 0,3 1 - 0,3 = 5 - 3 7

∴ ∑ n = 1 ∞ 0,8 n - 1 - ∑ n = 1 ∞ 0,3 n = 32 7

Resposta

∑ n = 1 ∞ 0,8 n - 1 - 0,3 n   é   c o n v e r g e n t e

∑ n = 1 ∞ 0,8 n - 1 - 0,3 n = 32 7

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