Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 34
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
34.
Passo 1
Então galera, para determinarmos se a série é convergente ou divergente devemos fazer o teste de divergência. Nesse teste descobriremos se a série em questão é divergente ou não. Se ela for divergente, tudo bem, então é! No entanto, se ela não for divergente, a única hipótese possível é de que ela é convergente. Essa é a técnica que devemos utilizar, beleza? O teste supracitado nos diz:
“Se ou se , então a série é divergente.”
Caso a série seja convergente, então devemos calcular sua soma, assim como o enunciado nos pede. As séries podem ter algumas caras, dentre elas existem dois tipos que mais aparecem, a primeira é a série convencional mesmo e a segunda é a série geométrica. Para a convencional a soma é calculada da seguinte forma:
Em outras palavras, basta descobrirmos a expressão que define a sequência de somas parciais e calcular seu limite com . Para a série geométrica, temos que:
No qual é a relação comum e é o primeiro termo da sequência. Se , a série é divergente. Caso contrário, se , então a série é convergente e sua soma é:
Agora que já temos a teoria necessária em mãos, então vamo que vamo!
Passo 2
Essa série está com um carinha de série geométrica em! Na realidade, não está nem com cara, é certeza que se trata desse tipo de série! Reescrevendo de forma mais simplificada, teremos:
Para a primeira somatória, temos que , então é convergente.
Para a segunda somatória, temos que , então é convergente.
Descobrindo a soma:
Resposta
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