Enunciado

45-48. Esboce a regra descrita e encontre sua área.

46. A região abaixo da curva y = x - x 2 e acima do eixo x .

Passo 1

Então pessoal, inicialmente o que temos que fazer é esboçar a curva em questão, ok? Esboçando a curva que nos foi dada, teremos:

O que queremos calcular aqui é essa região abaixo da curva em vermelho, limitada pelo intervalo 0 ,   1 , que são as retas pontilhadas! Vale ressaltar que há uma limitação horizontal, que é exatamente o eixo x , ok? Tendo isso em vista, então bora pra cima!

Passo 2

Escrevendo a integral dessa área:

∫ 0 1 x - x 2 d x

Simplificando:

∫ 0 1 x d x - ∫ 0 1 x 2 d x

Para resolvermos essas integrais devemos utilizar a seguinte regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para a primeira integral, teremos:

∫ 0 1 x d x = x 2 2 1 0

Para a segunda integral, teremos:

∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 1 0

Logo:

∫ 0 1 x - x 2 d x = x 2 2 1 0 - x 3 3 1 0

Passo 3

Agora que resolvemos nossa integral, basta que apliquemos o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para eliminarmos os intervalos de integração, saca só:

∫ 0 1 x - x 2 d x = 1 2 - 1 3

∫ 0 1 x - x 2 d x = 1 6

∴ A = 1 6   u . a

E esse é o valor da nossa região! 😉

Resposta

A = 1 6   u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5-10 Encontre a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo dado. 5 . f x = x 3 ; [ 2,3 ]
Em cada parte, use uma integral definida para encontrar a área da região sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo dado e verifique sua resposta usando uma fórmula apropriada de Geometria. f x = x ;
5-10 Encontre a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo dado.8. f x = x - 2 3 ; [ 1 , 27 ]
5-10 Encontre a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo dado. 7 . f x = 3 x ; [ 1 , 4 ]
5-10 Encontre a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo dado. 7 . f x = e 2 x ; [ 0 , ln ⁡ 2 ]