Enunciado

23-26 Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina dada de densidade δ .

26. A lâmina delimitada pelo eixo x e o gráfico da equação y = 1 - x 2 ;   δ = 3 .

Passo 1

Vamos começar a desenhando o gráfico da região que delimita essa lâmina!

Essa função é simétrica em relação ao eixo y , então o x - = 0 e além disso, podemos fazer a área usando os intervalos de 0 a 1 e depois multiplicar por dois!

Passo 2

Agora vamos calcular a área dessa região R , vamos lá:

á r e a   d e   R = 2 ∫ 0 1 ( 1 - x 2 ) d x = 2 x - x 3 3 1 0 = 2 1 - 1 3 - 2 0 - 0 2 2 = 2 × 2 3 = 4 3

Para calcularmos a massa, precisamos multiplicar a área pele densidade:

M a s s a   d e   R = 4 3 × 3 = 4

Passo 3

Vamos calcular agora o centroide, utilizando essas fórmulas:

x - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b x f x d x

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b 1 2 f ( x ) 2 d x

O x - é zero, pois é simétrico em relação ao eixo y .

Temos que fazer o y ¯ , lembrando que vamos fazer de 0 a 1 e depois multiplicar por 2 .

y - = 2 × ∫ 0 1 1 2 1 - x 2 2 d x = 2 × 1 2 ∫ 0 1 1 - 2 x 2 + x 3 d x = x - 2 x 3 3 + x 4 4 1 0 = 1 - 2 1 3 3 + 1 4 4 - 0 - 2 0 3 3 + 0 4 4 = 1 - 2 3 + 1 4 = 1 3 + 1 4 = 7 12

Botando em coordenadas, temos:

0 , 7 12

Resposta

4 ;   0 , 7 12

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Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0 x com velocidade v t = sin ⁡ 2 t , t ≥ 0 . Calcule o espaço percorrido entre os instantes t = 0 e t = π .
Se f x = ∫ 0 x 1 - t 2e t 2 d t , em qual intervalo f é crescente ?
Esboce a área apresentada por g x . A seguir, encontre g ' x Utilizando a parte 1 do teorema fundamental do cálculo parte 1 Calculando a integral usando a parte 2, e então, derivando. g x = ∫ 0 x ( 2
Se f x = ∫ 0 s e nx 1 + t 2 d t e g x = ∫ 0 y f ( x ) d x , econtre g ' ' x .
Se f 1 = 12, f ' é contínua e ∫ 1 4f ' xd x = 17 . Qual o valor de f 4 ?