Enunciado

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,   lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,   lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Nestes exercícios:

a) use esses limites, se necessário, para obter limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

46. f x = x e - x

Passo 1

a) Então galera, temos que a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = x e - x

Se calcularmos os limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x e - x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x e - x = - ∞

Show! Primeira parte finalizada!

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 1 . e x - x . e x e 2 x

f ' x = e x 1 - x e 2 x = 1 - x e x

Igualando nossa derivada a zero, teremos:

1 - x e x = 0

A única forma disso dar zero é se:

1 - x = 0

x = 1

Então esse é nosso ponto de extremo, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = - 1 . e x - 1 - x . e x e 2 x

f ' ' x = - 2 e x + e x x e 2 x = x - 2 e x

Se igualarmos a zero, obteremos a seguinte relação:

x - 2 e x = 0

E a única forma disso dar zero é se:

x - 2 = 0

x = 2

Então esse é o nosso ponto de inflexão, pessoal!

Substituindo os valores de x que encontramos na nossa função, teremos:

f 1 = 1 . e - 1 = 0,37

f 2 = 2 . e - 2 = 0,27

Show! Encontramos todos os dados solicitados pelo enunciado, pessoal! Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ x e - x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x e - x = - ∞

b) Ponto de extremo relativo: f 1 = 0,37 ;

Ponto de inflexão: f 2 = 0,27

Gráfico:

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