Enunciado

  1. Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
  2. Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
  3. Encontre os valores máximos e mínimos locais.
  4. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  5. Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de f .

f x = 1 + 1 x - 1 x 2  

Passo 1

Eaeee, belezinha?? A questão nos dá a seguinte função:

f x = 1 + 1 x - 1 x 2

A partir disso o enunciado nos pergunta um bocadinho de coisa. Então bora fazer uma a uma que aí a gente vai entendendo melhor, combinado?? 😉

Passo 2

No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.

Primeiro, vamos achar assíntota horizontal:

lim x → ± ∞ ⁡   1 + 1 x - 1 x 2 = 1

y = 1 é assíntota horizontal.

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Como x = 0 ∉ D f

lim x → 0 + ⁡   1 + 1 x - 1 x 2 =   lim x → 0 - ⁡   1 + 1 x - 1 x 2 = - ∞

Logo, x = 0 é assíntota vertical.

Passo 3

Vamos resolver o item b) agora.

No item b) precisamos achar onde f cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.

Derivando f , temos que:

f ' x = - 1 x 2 + 2 x 3

Organizando as contas:

f ' x = - x + 2 x 3

Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos.

Já temos o primeiro, pois x = 0 torna f ' indefinida.

Agora, vamos encontrar o resto. Para isso, temos que igualar a derivada a zero:

f ' x = 0

Ou seja:

- x + 2 x 3 = 0 ∴

- x + 2 = 0 ∴

x = 2  

Passo 4

Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira e obter os máximos e mínimos (ou não hahah).

Temos que:

f ' x > 0   se   x ∈ 0,2  

f ' ( x ) < 0   se x ∈ 2 , ∞  

f ' x < 0   se x ∈ - ∞ , 0

(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).

Pelo teste da primeira derivada, f   é crescente em 0,2   e decrescente em 2 , ∞     e - ∞ , 0 .

Passo 5

Respondendo o item c)...

Vamos usar o item anterior, olha só!

Temos que f 2   é um máximo local, pois f sai de decrescente para crescente.

Não existe mínimo.

Passo 6

Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.

Derivando novamente, temos:

f ' ' x = 2 x 3 - 6 x 4

Arrumando as contas:

f ' ' ( x ) = 2 x 4 x - 3

Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é x = 0 , pois nele a f ' ' está mal definida.

Vamos achar o resto agora igualando a segunda derivada a zero:

f ' ' = 0

Ou seja

2 x 4 x - 3 = 0  

Isolando x :

x = 3

Temos dois candidatos x = 0 e x = 3

Passo 7

Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!

f ' ' x > 0   se   x ∈ 3 , ∞    

f ' ' x < 0   se x ∈ 0 ,   3

f ' ' x < 0   se x ∈ - ∞ , 0

(você pode verificar isso pegando números menores que 6 e aplicando na derivada).

Côncava para cima em 3 ,   ∞ e para baixo em - ∞ , 0   e 0 ,   3 .  

x = 3 é ponto de inflexão.

Passo 8

Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!

Resposta

f é crescente em 0,2   e decrescente em 2 , ∞     e - ∞ , 0 . Temos que f 2   é um máximo local . Não existe mínimo. Côncava para cima em 3 ,   ∞ e para baixo em - ∞ , 0   e 0 ,   3 .   x = 3 é ponto de inflexão.

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