Enunciado

  1. Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo locais.
  3. Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
  4. Use as informações de a) - c) para esboçar o gráfico.

Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

F x = x   6 - x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, seus valores de máximo e mínimo locais e também seus intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Bastante coisa, né? Mas tudo isso pode ser resolvido com a ajuda da nossa amiga derivada. Pra isso, vamos derivar a nossa função e igualar o resultado a zero, para obter os pontos críticos. Em seguida, vamos avaliar o sinal dessa derivada, usando os pontos críticos encontrados. Esses intervalos vão determinar onde a função é crescente ou decrescente.

Depois, vamos usar o Teste da primeira derivada, para determinar os valores de máximo e mínimo locais de f . Vamos, então, analisar o sinal da segunda derivada (o que vai nos indicar os intervalos de concavidade) e igualar ela a zero, para encontrar os pontos de inflexão. E por fim, vamos traçar o gráfico da função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?

No item a) precisamos achar onde F cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontra-los.

Derivando F , usando a regra do produto, temos que:

F ' x = x ⋅ 1 2 6 - x - 1 2 - 1 + 6 - x 1 2 1

Organizando as contas:

F ' x = - 3 x + 12 2 6 - x .

Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos. Já temos o primeiro, pois x = 6 torna F ' indefinida.

Agora, vamos encontrar o resto, fazendo:

F ' x = 0

Ou seja:

- 3 x + 12 2 6 - x = 0

Como o denominador não pode zerar, precisamos que:

- 3 x + 12 = 0  

Isolando x , temos:

x = 4  

Esse é o nosso segundo ponto crítico.

Passo 3

Agora, precisamos analisar as proximidades desse ponto para usar o teste da primeira derivada e obter os valores de máximos e mínimos.

Temos que:

F ' x > 0   se   x ∈ - ∞ ,   4  

F ' x < 0   se x ∈ 4,6

(você pode verificar isso pegando números no intervalo que te dei e aplicando na derivada).

Assim, pelo teste da primeira derivada, f é crescente em - ∞ ,   4   e decrescente no intervalo 4,6 .

Passo 4

Para responder ao item b), vamos usar o item anterior, olha só!

Repare que em x = 4 , a nossa função deixou de ser crescente e passou a ser decrescente. Isso indica que F ( 4 ) representa um máximo local da função. Além disso, também conseguimos inferir da análise de sinal no passo anterior, que não existe ponto de mínimo local para essa função.

Uma outra forma de verificar isso seria calculando a segunda derivada da função e substituindo o ponto x = 4 no resultado, de forma que encontraríamos F 4 < 0 , indicando também o ponto de máximo.

Passo 5

Agora precisamos analisar a concavidade da função, beleza? Então, vamos calcular a segunda derivada.

Usando a regra do quociente, temos que:

F ' ' ( x )   =   - 3 2 [   ( x - 4 ) ( - 1 2 6 - x - 3 2 ( - 1 ) ) +   6 - x - 1 2 ( 1 ) ]

Arrumando as contas:

F ' ' ( x ) = 3 ( x - 8 ) 4 6 - x 3

Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é x = 6 , pois nele a F ' ' é indefinida. Vamos achar o resto agora, fazendo:

F ' ' = 0

Ou seja:

3 x - 8 4 6 - x 3 = 0

Desse modo, temos:

3 x - 8 = 0

Isolando x :

x = 8

Mas para x = 8 , nossa função também não está definida, pois teríamos a raiz quadrada de um número negativo. Então, vamos considerar apenas x = 6 na análise.

Passo 6

Vamos verificar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!

Perceba que:

F ' ' x < 0   se   x ∈ -   ∞ ,   6

(você pode verificar isso pegando números menores que 6 e aplicando na derivada).

O que significa que F é côncava para cima nesse intervalo. Então não temos um ponto de inflexão.

Passo 7

Só falta esboçar o gráfico. Partiu!

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C r e s c e n t e → - ∞ ,   4  

D e c r e s c e n t e → 4,6

M á x i m o   l o c a l → F ( 4 )

N ã o   e x i s t e   m í n i m o   l o c a l ,   n e m   p o n t o   d e   i n f l e x ã o

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