Enunciado

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,   lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,   lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Nestes exercícios:

a) use esses limites, se necessário, para obter limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

52. f x = x 2 3 e x

Passo 1

a) Então galera, temos que a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = x 2 3 e x

Se calcularmos os limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 e x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 e x = 0

Show! Primeira parte finalizada!

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 2 3 x - 1 3 e x + x 2 3 e x

f ' x = e x x 2 3 + 2 3 x 1 3 = e x 3 x + 2 3 x 1 3

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

e x 3 x + 2 3 x 1 3 = 0

Como e x nunca será zero, então temos que a única forma dessa relação ser válida é se:

3 x + 2 = 0

x = - 2 3

Então esse é o nosso único possível ponto de extremo, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = e x . 3 x + 2 + 3 e x . 3 x 1 3 - e x 3 x + 2 . x - 2 3 9 x 2 3

f ' ' x = e x 9 x 2 + 12 x - 2 9 x 4 3

Como e x 2 não pode ser zero, a única forma disso resultar em zero é se:

9 x 2 + 12 x - 2 = 0

Utilizando Bhaskara, teremos:

x = - 12 ± 144 - 4 . 9 . - 2 18 = - 12 ± 216 18

x 1 = - 2 - 6 3 = - 1,48

x 2 = - 2 + 6 3 = 0,15

Então esses são os nossos pontos de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo os valores de x que encontramos na nossa função, teremos:

f - 2 3 = - 2 3 2 3 e - 2 3

f - 1,48 = 0,30

f 0,15 = 0,33

Show! Encontramos todos os dados solicitados pelo enunciado, pessoal! Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 e x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x 2 3 e x = 0

b) Ponto de extremo relativo: x = - 2 3 ;

Pontos de inflexão: x = - 1,48 e x = 0,15 ;

Gráfico:

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