Enunciado

32 (a)Esboce o gráfico de f ( x ) = 6 - x começando pelo gráfico de y = x e usando as transformações da Seção 1.3.

( b ) Use o gráfico da parte ( a ) para esboçar o gráfico f '

(c)Use a definição de derivada para encontrar f ’ ( x ) . Quais os domínios de f e f ´ ?

( d ) Use um recurso gráfico para fazer o gráfico f ´ e compare com o esboço de ( b )

Passo 1

Para a questão de letra (a), vamos começar fazendo o gráfico de x :

Agora tornaremos y = x em y = x + 6 e o gráfico fica deslocado 6 unidades para a esquerda, dessa forma:

Para finalizar essa parte, vamos fazer com que y = x + 6 se torne y = 6 - x , quando isso acontece o gráfico fica refletido em relação a y , dessa forma:

Passo 2

Desenharei o gráfico com algumas tangentes, para enxergarmos melhor como fica o gráfico de f ´ .

Tangente Vertical, não existe nesse ponto de abscissa 6

As tangentes são negativas para qualquer ponto e é também decrescente.

Gráfico de f ´ conforme as informações anteriores.

Inicialmente, vamos determinar o domínio da função f ( x ) = 6 - x . Você lembra que todo valor dentro da raiz quadrada tem de ser maior ou igual a zero? Se não lembrar, anota isso em algum lugar e vamos em frente!

Então teremos que:

6 - x ≥ 0

- x ≥ - 6

Multiplicando por - 1 e numa inequação quando fazemos isso, mudamos a orientação do sinal , que vira .

x ≤ 6

Esse é o domínio de f ( x ) :

D o m ( f ) = x ≤ 6

Passo 3

Agora, vou deixar esse passo para fazermos a derivada e o gráfico da derivada.

f ´ ( x ) = lim h → 0 ⁡ f ( x + h ) - f ( x ) h

Anotarei aqui as expressões na equação acima:

f ( x + h ) = 6 - x - h

f ( x ) =   6 - x

Substituindo tudo na integral acima, temos:

f ´ ( x ) = lim h → 0 ⁡ 6 - x - h - 6 - x h

Multiplicaremos no numerador e no denominador por 6 - x - h + 6 - x

Fazendo essa operação de baixo agora!

( 6 - x - h + 6 - x ) (   6 - x - h - 6 - x ) = 6 - x - h - ( 6 - x ) = 6 - x - h - 6 + x = - h

f ´ ( x ) = lim h → 0 ⁡ - h h 6 - x - h + 6 - x

Cortando o h do numerador com o h do denominador, temos:

f ´ ( x ) = lim h → 0 ⁡ - 1 6 - x - h + 6 - x = - 1 2 6 - x

f ´ ( x ) = - 1 2 6 - x

O domínio dessa função é parecido com o domínio da função sem ser derivada, a única diferença é que agora o x não vai poder ser igual a 6 , pois se ele fosse teríamos 0 no denominador.

Então,

D o m ( f ´ ) = x < 6

Resposta

(a)

( b )

(c)

f ´ ( x ) = - 1 2 6 - x

D o m ( f ) = x ≤ 6

D o m ( f ´ ) = x < 6

(d)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.Encontre os valores máximo e mínimo locais. Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Use as informações de a)-c) pa
Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.Encontre os valores máximo e mínimo locais. Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Use as informações de a) - c)
Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.Encontre os valores máximo e mínimo locais. Encontre os intervalos de concavidade e pontos de inflexão. Use as informações de a)-c) pa
33-44 a)Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.b)Encontre os valores máximos ou mínimos locais.c)Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexãod)Use as inform
Encontre as assíntotas verticais e horizontais.Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.Encontre os valores máximos e mínimos locais.Encontre os intervalos de concavidade e