Enunciado

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,   lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,   lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Nestes exercícios:

a) use esses limites, se necessário, para obter limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

49. f x = x 2 e - x 2

Passo 1

a) Então galera, temos que a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = x ² e - x 2

Se calcularmos os limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x ² e - x 2 = 0

lim x → - ∞ ⁡ x ² e - x 2 = 0

Show! Primeira parte finalizada!

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 2 x . e x 2 - x 2 . 2 x . e x 2 e 2 x 2

f ' x = 2 x - 2 x 3 e x 2

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

2 x - 2 x 3 e x 2 = 0

Como e x 2 não pode ser zero, então temos que a única forma dessa divisão dar zero é se:

2 x - 2 x 3 = 0

2 x 1 - x 2 = 0

Para 2 x = 0 , temos:

2 x = 0

x = 0

Para 1 - x 2 = 0 , temos:

1 - x 2 = 0

x = ± 1

Então esses são os nossos possíveis pontos de extremos, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = 2 - 6 x 2 . e x 2 - 2 x . 2 x - 2 x 3 . e x 2 e 2 x 2

f ' ' x = 4 x 4 - 10 x 2 + 2 e x 2

Como e x 2 não pode ser zero, a única forma disso resultar em zero é se:

4 x 4 - 10 x 2 + 2 = 0

Note que temos uma equação biquadrada, certo? Para resolvermos, vamos fazer:

t = x 2

Substituindo, teremos:

4 t 2 - 10 t + 2 = 0

Utilizando Bhaskara:

t = 10 ± 100 - 4 . 4.2 2 . 4

t = 5 ± 68 4

Logo, nossas raízes serão:

x = ± 5 ± 68 4

x 1 = 1,51 ; x 2 = - 1,51

x 3 = 0,47 ; x 4 = - 0,47

Então esses são os nossos pontos de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo os valores de x que encontramos na nossa função, teremos:

f 0 = 0

f 1 = 0,37

f - 1 = 0,37

f 1,51 = 0,23

f - 1,51 = 0,23

f 0,47 = 0,18

f - 0,47 = 0,18

Show! Encontramos todos os dados solicitados pelo enunciado, pessoal! Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ x ² e - x 2 = 0

lim x → - ∞ ⁡ x ² e - x 2 = 0

b) Pontos de extremos relativos: x = 0 ,   x = 1   e   x = - 1 ;

Pontos de inflexão: x = 1,51 ,   x = - 1,51 ,   x = 0,47   e   x = - 0,47 ;

Gráfico:

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