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48. Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ s e n ( x ) cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x

Passo 1

Como queremos expressar como uma função racional, vamos a seguinte substituição:

u = cos ⁡ x

Logo,

d u = - s e n x d x

Passo 2

Nossa integral era:

I = ∫ s e n ( x ) cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x

Isto é,

I = ∫ 1 cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x s e n ( x ) d x

E com a substituição do Passo 1 vai ficar assim:

I = - ∫ 1 u 2 - 3 u d u

Fatorando, temos:

I = - ∫ 1 u ( u - 3 ) d u

Opa, agora temos que separar em frações parciais. Vem comigo!

1 u u - 3 = A u + B u - 3

Deixando tudo no mesmo denominador:

1 u u - 3 = A u ⋅ u - 3 u - 3 + B u - 3 ⋅ u u

Logo,

1 u ( u - 3 ) = A u - 3 + B u u ( u - 3 )

Assim,

1 u ( u - 3 ) = u A + B - 3 A u ( u - 3 )

Comparando os coeficientes:

A + B = 0 - 3 A = 1

Então,

A = - 1 / 3 e B = 1 / 3

Passo 3

Nossa expressão era assim:

A u + B u - 3

Vai ficar assim:

- 1 / 3 u + 1 / 3 u - 3

Integrando, temos:

I = - ∫ - 1 / 3 u + 1 / 3 u - 3 d u

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Logo,

I = - - 1 3 ln ⁡ u + 1 3 ln ⁡ u - 3 + C

Voltando para variável x ( u = cos ⁡ x   ) e trocando os sinais:

I = 1 3 ln ⁡ cos ⁡ x - 1 3 ln ⁡ cos ⁡ x - 3 + C

Resposta

I = 1 3 ln ⁡ cos ⁡ x - 1 3 ln ⁡ cos ⁡ x - 3 + C

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