Enunciado

Encontre o limite . Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado . Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de l’Hôspital não se aplicar, o porquê.

l i m x → ∞   x   e - x 2

Passo 1

Vamos aplicar o limite para ver se já tá na cara de l’Hôspital, para a gente poder usar,ou se não, a gente fazer a mudança necessária, beleza?

Vamos lá !

l i m x → ∞   x   e - x 2 = 0 ⋅ ∞  

Não podemos aplicar l’Hôspital, pois ele só é usado em indeterminações da forma 0 0 ou ∞ ∞ .

Então vamos tentar deixar nossas contas com essa cara.

Passo 2

A gente tem que tornar nossos limite um quociente. Parece difícil né ? Mas não!

É só a gente lembrar de uma paradinha ( não é de Anitta) , mas é a seguinte

a b c = a b ⋅ 1 c

A gente tá com o lado direito da igualdade, então vamos aplicar a regrinha que vai ajudar e nossa contas. Partiu!

l i m x → ∞   x   e - x 2 =   l i m x → ∞   x e x 2

Passo 3

Agora vamos ver se já podemos usar L’Hospital . Como

l i m x → ∞   x e x 2 = ∞ ∞

Então vale Lho’spital . Daí,

l i m x → ∞   x e x 2 =   l i m x → ∞ 1 2 x - 1 2 e x 2 ⋅ 1 2

Arrumando ,

l i m x → ∞ 1 2 x - 1 2 e x 2 ⋅ 1 2 =   l i m x → ∞ 1 x   e x 2 = 0      

Resposta

l i m x → ∞   x   e - x 2 = 0

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