Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (3 x^2)/(2 x^3 - x^2 - 2 x + 1) d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

int (3 x^2)/(2 x^3 - x^2 - 2 x + 1) d x = int ((3 x^2)/(2))/((2 x^3 - x^2 - 2 x + 1)/(2)) d x = (3)/(2) int (x^2)/(x^3 - (x^2)/(2) - x + (1)/(2)) d x =

= (3)/(2) int (x^2)/((x - 1) (x + 1) (x - (1)/(2))) d x

Vamos usar Frações Parciais, analisando o denominador vemos que ele é um produto de fatores lineares distintos, vamos então usar a seguinte fórmula:

(x^2)/((x - 1) (x + 1) (x - (1)/(2))) = (A)/(x - 1) + (B)/(x + 1) + (C)/(x - (1)/(2))

Vamos achar os valores de A , B e C , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores (x - 1) (x + 1) (x - (1)/(2)) :

x^2 = A (x + 1) (x - (1)/(2)) + B (x - 1) (x - (1)/(2)) + C (x - 1) (x + 1)

Vamos destrinchar essa expressão agora e isolar os termos do polinômio:

x^2 = A (x + 1) (x - (1)/(2)) + B (x - 1) (x - (1)/(2)) + C (x - 1) (x + 1)

x^2 = A (x^2 - (x)/(2) + x - (1)/(2)) + B (x^2 - (x)/(2) - x + (1)/(2)) + C (x^2 + x - x - 1)

x^2 = A (x^2 + (x)/(2) - (1)/(2)) + B (x^2 - (3 x)/(2) + (1)/(2)) + C (x^2 - 1)

x^2 = A x^2 + (A x)/(2) - (1)/(2) A + B x^2 - (3 B x)/(2) + (B)/(2) + C x^2 - C

x^2 = x^2 (A + B + C) + x ((A)/(2) - (3 B)/(2)) + (- (A)/(2) + (B)/(2) - C)

Passo 2

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes x^2 e x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

{[[A + B + C = 1],[(A)/(2) - (3 B)/(2) = 0],[- (A)/(2) + (B)/(2) - C = 0]])

Vamos somar as três:

A = 1

Substituindo na segunda achamos B :

3 B = A -> B = (A)/(3) = (1)/(3)

Substituindo na primeira achamos C :

A + B + C = 1 -> C = 1 - A - B = 1 - 1 - (1)/(3) = - (1)/(3)

Pronto, achamos os valores de A , B e C , vamos agora substituir de volta na integral:

int (x^2)/((x - 1) (x + 1) (x - (1)/(2))) d x = int (1)/(x - 1) + ((1)/(3))/(x + 1) + (- (1)/(3))/(x - (1)/(2)) d x =

= int (1)/(x - 1) + (1)/(3 (x + 1)) - (1)/(3 (x - (1)/(2))) d x =

= int (1)/(x - 1) d x + (1)/(3) int (1)/(x + 1) d x - (1)/(3) int (1)/(x - (1)/(2)) d x

Agora vamos resolver as três integrais separadamente.

Passo 3

Com a primeira, vamos usar a Regra da Substituição:

u = x - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

int (1)/(x - 1) d x = int (1)/(u) d u

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

int (1)/(u) d u = ln |u| + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição novamente agora na segunda:

v = x + 1

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = 1 + 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

(1)/(3) int (1)/(x + 1) d x = (1)/(3) int (1)/(v) d v

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

(1)/(3) int (1)/(v) d v = (1)/(3) ln |v| + C

Passo 5

Vamos usar a Regra da Substituição por último na terceira:

r = x - (1)/(2)

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 1 - 0 d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- (1)/(3) int (1)/(x - (1)/(2)) d x = - (1)/(3) int (1)/(r) d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int (1)/(x) d x = ln |x| + C

Aplicando:

- (1)/(3) int (1)/(r) d r = - (1)/(3) ln |r| + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

int (1)/(x - 1) d x + (1)/(3) int (1)/(x + 1) d x - (1)/(3) int (1)/(x - (1)/(2)) d x = ln |u| + (1)/(3) ln |v| - (1)/(3) ln |r| + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int (3 x^2)/(2 x^3 - x^2 - 2 x + 1) d x = (3)/(2) int (x^2)/((x - 1) (x + 1) (x - (1)/(2))) d x =

= (3)/(2) (ln |u| + (1)/(3) ln |v| - (1)/(3) ln |r| + C) = (3)/(2) ln |x - 1| + (1)/(2) ln |x + 1| - (1)/(2) ln |x - (1)/(2)| + C

Resposta

int (3 x^2)/(2 x^3 - x^2 - 2 x + 1) d x = (3)/(2) ln |x - 1| + (1)/(2) ln |x + 1| - (1)/(2) ln |x - (1)/(2)| + C

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