Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 51
51. Uma massa atada a uma mola vertical tem função posição dada por , onde A é a amplitudo e , é uma constante.
(a) Encontre a velocidade e aceleração como função do tempo.
(b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento de .
(c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é 0.
Passo 1
(a)
Lá da física, a gente sabe que a derivada do espaço em relação ao tempo é a velocidade:
e a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração:
Então precisamos derivar duas vezes a função fornecida no enunciado:
Usando regra da cadeia:
Derivando mais uma vez, para obtermos a aceleração:
Usando a regra da cadeia novamente:
Passo 2
(b)
Uma função ser proporcional à outra quer dizer que se divididirmos uma pela outra vamos ter uma constante:
Portanto a aceleração é proporcional ao deslocamento pois é uma constante.
Passo 3
(c)
A função velocidade é dada por:
então como é constante, para termos a velocidade ser máxima aquele cosseno deve ser igual a ou :
Para isso acontecer deva valer:
E quando isso acontece o seno desse ângulo vai para zero,
então
Ou seja, quando a velocidade é máxima a aceleração vai para 0
Resposta
(a)
e
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