Enunciado

51. Uma massa atada a uma mola vertical tem função posição dada por y t = A s e n ⁡ ω t , onde A é a amplitudo e ω , é uma constante.

(a) Encontre a velocidade e aceleração como função do tempo.

(b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento de y .

(c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é 0.

Passo 1

(a)

Lá da física, a gente sabe que a derivada do espaço em relação ao tempo é a velocidade:

v = d s d t

e a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração:

a = d v d t

Então precisamos derivar duas vezes a função fornecida no enunciado:

v t = y ' t = d d t A s e n ⁡ ω t

Usando regra da cadeia:

v t = A co s ⁡ ω t ⋅ d d t ω t

v t = A cos ⁡ ω t ⋅ ω

v t = A ω cos ⁡ ω t

Derivando mais uma vez, para obtermos a aceleração:

a t = y ' ' t = d d t A ω cos ⁡ ω t

Usando a regra da cadeia novamente:

a t = - A ω s en ⁡ ω t ⋅ d d t ω t

a t = - A ω sen ⁡ ω t ⋅ ω

a t = - A ω 2 sen ⁡ ω t

Passo 2

(b)

Uma função ser proporcional à outra quer dizer que se divididirmos uma pela outra vamos ter uma constante:

a t y t = k

- A ω 2 s e n ⁡ ω t A s e n ⁡ ω t = k

- ω = k

Portanto a aceleração é proporcional ao deslocamento pois ω é uma constante.

Passo 3

(c)

A função velocidade é dada por:

v t = A ω cos ⁡ ω t

então como A ω é constante, para termos a velocidade ser máxima aquele cosseno deve ser igual a 1 ou - 1 :

cos ⁡ ω t = ± 1

Para isso acontecer ω t deva valer:

ω t = 2 k π

E quando isso acontece o seno desse ângulo vai para zero,

sen ⁡ ω t = 0

então

a t = - A ω 2 0

a t = 0

Ou seja, quando a velocidade é máxima a aceleração vai para 0

Resposta

(a) v t = A ω cos ⁡ ω t

e

a t = - A ω 2 sen ⁡ ω t

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