Enunciado

51-56. Use as Definições 1.4.2 ou 1.4.3 para provar que o limite dado está correto.

55. lim x → + ∞ ⁡ 2 x x - 1 = 2

Passo 1

Da definição de limites no infinito, temos o seguinte, galera:

lim x → + ∞ ⁡ f x = L

Se, dado qualquer número ϵ > 0 , houver um número correspondente N tal que:

f x - L < ϵ

Mas só se:

x > N

O que devemos fazer aqui é analisar essas restrições com base na função que nos foi dada e compara-las, a fim de encontrar um número N que satisfaça (ou não) as condições do problema.

Passo 2

Substituindo nossos valores, teremos:

2 x x - 1 - 2 < ϵ

2 x - 1 < ϵ

Isolando x , teremos:

x - 1 < 2 ϵ

x > 1 + 2 ϵ 2

Mas só se:

x > N

Comparando os resultados, temos que:

N = 1 + 2 ϵ 2

Em outras palavras, conseguimos encontrar um valor de N que satisfaz as condições do problema, galera! Dessa forma, fica provado que, de fato, o limite está correto!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 2 + ⁡ f x
Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 0 + ⁡ f x
Seja f x =1 x , x0 x 2 , 0 ≤ x1 2 , x = 1 2 - x , x1 Esboce o gráfico e calcule o limite indicado se existir: lim x → 0 - ⁡ f x
Determine limites à direita e à esquerda da função f x =a r c t g 1 x quando x → 0 .
Verifique se lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 existe.