Enunciado

51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.

58- p x = 4 x 3 - 9 x 4

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

p ´ x = 12 x 2 - 36 x 3

Agora, vamos derivar novamente:

p ´ ´ x = 24 x - 108 x 2

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

p ´ x = 0

12 x 2 - 36 x 3 = 0

x 2 - 3 x 3 = 0  

x 2 1 - 3 x = 0

x = 0

E

1 - 3 x = 0

x = 1 3

Para x = 0 :

p 0 = 0

Para x = 1 3 :

p 1 3 = 0,037

( 0,0 ) e ( 1 3 ,   0,037 ) são nossos pontos estacionários.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x = 0 :

p ´ ´ 0 = 0

Como p ´ ´ x 0 = 0 temos que usar o teste da primeira derivada. Para isso, temos que fazer o estudo de sinal de p ´ x .   Vamos testar dois pontos, um direita do 0 e o outro a esquerda e ver como essa função se comporta.

Para x = - 0,1 :

p ´ - 0,1 = 0,156

Para x = 0,1 :

p ´ 0,1 = 1,164

Como a função não muda de sinal, nós não temos um extremo nesse ponto.

Para x = 1 3 :

p ´ ´ 1 3 = - 4

Isso quer dizer que o ponto   ( 1 3 ,   0,037 ) é o nosso máximo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

p ´ ´ x = 24 x - 108 x 2

p ´ ´ x = 0

24   x   ( 1 - 9 2 x ) = 0

x = 0

E

1 - 9 2 x = 0

x = 2 9

Agora, vamos ver como a função se comporta antes e depois do 0 e do 2 9 .Para isso vamos fazer um quadro de sinais:

Como p ´ ´ ( x ) tem sinais diferentes antes e depois do 0   ( x < 0   ,   0 < x < 2 9 ) , para x = 0   , temos um ponto de inflexão.

p 0 = 0  

O ponto ( 0 ,   0 )   é um ponto de inflexão.

Como p ´ ´ ( x ) também tem sinais diferentes antes e depois do 2 9   0 < x < 2 9 ,   x > 2 9   , para x = 2 9 , temos um ponto de inflexão.

Para x = 2 9

p 2 9 = 0,022  

O ponto ( 2 9 , 0,022 )   é um ponto de inflexão.

Passo 4

Por último, temos que ver os cortes com os eixos.

- Eixo x :

4 x 3 - 9 x 4 = 0

x 3 4 - 9 x = 0  

x = 0

E

4 - 9 x = 0

x = 4 9

Os cortes com o eixo x são nos pontos:

0,0 ,   ( 4 9 , 0 )

- Eixo y :

p 0 = 0

O corte com eixo y é no ponto:

( 0,0 )

Assim, nós temos o seguinte gráfico:

Resposta

( 0,0 (nenhum dos dois) e ( 1 3 ,   0 , 037 ) (máximo) são nossos pontos estacionários.

( 0,0 )   e   ( 2 9 , 0,022 ) são pontos de inflexão.

Cortes nos eixos: 0,0 ,   4 9 , 0 ,   ( 0,0 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(Continuação do Exercício 13.)a. Esboce o gráfico de f ( x ) = ( x 8 / 8 ) - 2 / 5 x 5 - 5 x - ( 5 / x 2 ) + 11 ao longo do intervalo -2x2 . Onde o gráfico parece ter valores extremos locais ou pontos
(Continuação do Exercício 13.)c. Amplie para encontrar uma janela de visualização que mostre a presença de valores extremos locais em x = 5 7 e x = 2 3 .
Nos Exercícios 7 e 8, determine os valores máximo e mínimo absolutos de f sobre o intervalo.
a. Dê um exemplo de uma função derivável f cuja primeira derivada seja zero em algum ponto c , embora f não tenha nem um máximo local nem um mínimo local em c . b. Como isso é consistente com o Teorem
Quais são os valores máximo e mínimo da função y = | x | no intervalo - 1 ≤ x1 ? Observe que o intervalo não é fechado.Isso é consistente com o teorema do valor extremo para funções contínuas? Por quê