Enunciado

a. Dê um exemplo de uma função derivável f cuja primeira derivada seja zero em algum ponto c , embora f não tenha nem um máximo local nem um mínimo local em c .

b. Como isso é consistente com o Teorema 2 da Seção 4.1? Justifique sua resposta.

Passo 1

Uma ideia que pode se ter para supor uma função com esse comportamento é escolher o ponto c = 0 .

Então, deve-se escolher uma função que seja estritamente crescente ou estritamente decrescente para que ela não mude o comportamento em todo o seu domínio e, consequentemente, não apresente nenhum máximo ou mínimo local em c .

Passo 2

Tendo essas informações um exemplo de função que atende a esses critérios é f x = x 3 , pelo fato de que:

f ' x = 3 x 2

E:

f ' c = f ' 0 = 0

Passo 3

Agora, para verificar se a função possui máximo ou mínimo local em x = c = 0 temos que avaliar a derivada em ambos os lados do ponto. Logo,

Para x < 0 , f ' x é positiva;

Para x > 0 , f ' x é positiva.

Assim, este ponto não é máximo nem mínimo local.

Resposta

a. f x = x 3 .

b. O Teorema 2 diz apenas que se f é diferenciável e possui um valor máximo ou mínimo local em um ponto c no seu domínio, então f ' c = 0 . Porém, ele não garante que o processo inverso ( f ' c = 0 → f   t e m   e x t r e m o   l o c a l   e m   x = c ) ocorre. Portanto, a proposta da parte (a) é consistente com o Teorema 2.

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