Enunciado

Nos Exercícios 7 e 8, determine os valores máximo e mínimo absolutos de f sobre o intervalo.

Passo 1

A fim de descobrir se a função possui mínimos ou máximos absolutos, deve-se fazer a derivada

da mesma e igualar este resultado a zero, ou seja, verificar se existe ponto crítico.

Caso haja pontos críticos, estes devem ser analisados dentro do domínio da função.

Passo 2

Logo, derivando a função e igualando a zero:

f ' x = - 4 x 2 + 2 x = 2 x - 4 x 2 = 0

Encontra-se um ponto crítico em x = 2 e a função deve ser analisada antes e depois dele.

Passo 3

Verificando o comportamento da função ao redor do ponto crítico temos que:

Para 1 < x < 2 , f ' ( x ) é negativa;

Para 2 < x < 4 , f ' ( x ) é positiva;

Então, o ponto x = 2 é um ponto de mínimo local e tem valor de y = 2 + ln ⁡ 4 ≈ 3,39

Passo 4

Além do ponto crítico, os pontos extremos do intervalo dado também devem ser analisados para saber se eles são mínimos ou máximos absolutos.

Então temos que:

E m   x = 1 ,   y = 4 ;

E m   x = 4 ,   y = 1 + ln ⁡ 16 ≈ 3,77

Portanto, observando as coordenadas de cada ponto, conclui-se que f 2 = 2 + ln ⁡ 4 é mínimo absoluto e f 1 = 4 é máximo absoluto.

Resposta

Máximo absoluto: f 1 = 4 ;

Mínimo absoluto: f 2 = 2 + ln ⁡ 4 .

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