Enunciado

Usando uma folha quadrada de cartolina, de lado a , deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando em seus cantos quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.

Passo 1

Temos uma folha de lado a e vamos retirar em suas extremidades quadrados de lado x . Logo restará para construir a caixa uma medida de lado a - 2 x .

O volume é dado por área da base vezes altura. A base é o quadrado de lado a - 2 x e a altura é x , pois é o tanto que cortamos do lado e quando dobrado para cima essa medida que permanecerá. Assim temos:

V = a - 2 x 2 . x

V = a 2 - 4 a x - 4 x 2 . x = a 2 x - 4 a x 2 + 4 x 3

Passo 2

Como queremos o volume máximo, podemos maximizar a função. Para isso vamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x . Temos então que:

V ' = a 2 - 8 a x + 12 x 2

V ' = 0 ⇒ a 2 - 8 a x + 12 x 2 = 0 ⇒ x = 8 a ± 64 a 2 - 4.12 . a 2 2 . 12 = 8 a ± 16 a 2 24 = 8 a ± 4 a 24

x 1 = 12 a 24 = a 2         e             x 2 = 4 a 24 = a 6

Passo 3

Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja f uma função derivável num intervalo ( a , b ) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ' c = 0 ,   c o m   a < c < b . Se f admite a derivada f ' ' em ( a , b ) , temos:

  1. Se f ' ' c > 0   ,   f   t e m   u m   v a l o r   m í n i m o   r e l a t i v o   e m   c .
  2. Se f ' ' c < 0 ,   f   t e m   u m   v a l o r   m á x i m o   r e l a t i v o   e m   c .

Assim, calculando a segunda derivada de V , temos:

V ' ' =   - 8 a + 24 x

Aplicando os pontos críticos x 1 e x 2 em V ' ' :

V ' ' a 2 = - 8 a + 24 . a 2 = - 8 a + 12 a = 4 a > 0 ⇒ a 2 é   p o n t o   d e   m í n i m o

V ' ' a 6 =   - 8 a + 24 . a 6 =   - 8 a + 4 a = - 4 a < 0 ⇒ a 6   é   p o n t o   d e   m á x i m o

Portanto, o lado dos quadrados cortados deve medir a 6 unidades de medida para se obter o maior volume da caixa.

Resposta

a 6   u n i d a d e s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescenteIdentifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem g x = x
Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescenteIdentifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem g x = x
Determine os intervalos abertos em que a função é crescente e aqueles em que ela é decrescenteIdentifique os valores extremos absolutos e locais das funções, se houver, indicando onde ocorrem h x = x
Identifique os valores extremos locais das funções nos domínios dados e informe onde eles ocorremQual dos valores extremos, se houver, é absolutoFundamente suas conclusões como uma calculadora ou prog
Identifique os valores extremos locais das funções nos domínios dados e informe onde eles ocorremQual dos valores extremos, se houver, é absolutoFundamente suas conclusões como uma calculadora ou prog