Enunciado

53. Fórmula do tamanho do lote de Wilson. Uma das fórmulas para gerenciamento de almoxarifado diz que o custo médio semanal para você encomendar, pagar e armazenar uma mercadoria é:

A q = k m q + c m + h q 2

onde q é a quantidade que você encomenda quando o estoque está baixo (calçados, rádios, vassouras, seja o que for), k é o custo para fazer o pedido (que é constante, não importando quanto você pede), c é o custo de um item (uma constante), m é o número de itens vendidos em uma semana (uma constante) e h é o custo semanal de armazenagem de um item (uma constante que leva em conta, por exemplo, o espaço que o item ocupa, utilidade, seguro e segurança).

a. Seu trabalho, como almoxarife, é determinar a quantidade que minimizará A ( q ) . Que quantidade é essa? (A fórmula que você obterá como resposta é conhecida como fórmula

do tamanho do lote de Wilson.)

b. As vezes, os custos de entrega dependem do tamanho do pedido. Quando isso ocorre, é mais conveniente substituir k por   k   +   b q , a soma de k e uma múltipla constante de q . Qual é a quantidade mais econômica a encomendar agora?

Passo 1

a) Para minimizarmos a A ( q ) temos que utilizar o conceito de máximos e mínimos, pessoal! Para descobrirmos o valor de q que minimiza a equação A ( q ) temos que derivar essa função e igualar a zero para encontrarmos pontos críticos que, possivelmente, serão candidatos à minimização. Fazendo isso, teremos:

A ' q = - k m q 2 + h 2

- k m q 2 + h 2 = 0

Isolando q , temos:

h 2 = k m q 2 ⇒ q 2 = 2 k m h

∴ q = ± 2 k m h

Passo 2

Agora que encontramos os pontos críticos, pessoal, temos que ver qual deles é um mínimo no gráfico de A ( q ) . Uma das melhores maneiras de descobrirmos isso é derivando pela segunda vez a equação e analisando o sinal dessa segunda derivada. Tá parecendo confuso? Se liga, acompanha aqui que você vai ver que não é!

A ' ' q = 2 k m q 3

Quando substituirmos os pontos críticos, caso A ' ' ( q ) seja maior do que zero, isso implica que q é um ponto de mínimo (gráfico terá concavidade para cima), que é exatamente o que queremos encontrar. Caso A ' ' ( q ) seja menor do que zero, isso implica que q é um ponto de máximo (gráfico terá concavidade para baixo).

Substituindo q = + 2 k m h , teremos:

S ' ' 2 k m h = 2 k m . h 2 k m

Note que o valor deu positivo, o que implica que, de fato, + 2 k m h é um ponto de mínimo. Portanto, essa é a nossa resposta!

Passo 3

b) Se substituirmos k por k   +   b q , assim como o enunciado nos pede, teremos:

A q = ( k + b q ) m q + c m + h q 2

A q = k m q + b m + c m + h q 2

Se fizermos o mesmo processo que fizemos na letra a), teremos:

A ' q = - k m q 2 + h 2

Note que o resultado foi o mesmo da letra a), sendo assim, fica claro que a quantidade mais econômica, mesmo com a alteração de k , ainda será q = 2 k m h !

Resposta

a) q = 2 k m h

b) q = 2 k m h

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