Enunciado

53. Usando os resultados dos Exercícios 51 e 52 como referência, determine uma translação de eixos tal que a equação y = 1 2 s e n   x - cos ⁡ x - 3 torne – se y ' = s e n   x ' .

Passo 1

Vamos entender que se ( x , y ) representa as coordenadas de qualquer ponto P em relação a um dado conjuntos de eixos que tínhamos, então uma translação para uma nova origem com coordenadas ( h ,   k ) em relação aos eixos antigos, então ( x ' , y ' ) representam as coordenadas do mesmo ponto em relação a nova origem. E são dados por:

x = x ' + h           e           y = y ' + k

Temos que achar h e k que satisfaça o que o enunciado pede.

Passo 2

Vamos pensar um pouco, se uma equação de uma curva é dada em x e y então a equação em x’ e y’ será obtida substituindo as igualdades que vimos no passo 1 na nossa equação. Assim:

y = 1 2 ( s e n   x - cos ⁡ x ) - 3

⇒ y ' + k = 1 2 s e n   x ' + h - cos ⁡ x ' + h - 3

⇒ y ' = 1 2 s e n   x ' ⋅ cos ⁡ h + s e n   h ⋅ cos ⁡ x ' - cos ⁡ x ' ⋅ cos ⁡ h + s e n   h ⋅ s e n   x ' - 3 - k

⇒ y ' = 1 2 s e n   x ' cos ⁡ h + s e n   h + cos ⁡ x ' s e n   h - cos ⁡ h - 3 - k

Para que essa expressão seja igual a y ' = s e n   x ' , temos que:

1 2 cos ⁡ h + s e n   h = 1

1 2 s e n   h - cos ⁡ h = 0

- 3 - k = 0

Para que essas igualdades sejam verdadeiras:

h = π 4           e           k = - 3

Resposta

Precisa ser feita uma translação para que a nova origem seja π 4 , - 3 .

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