Enunciado

Mostre que:

  1. retas não são parábolas;
  2. a amplitude focal de uma parábola de parâmetro p é 4 p ;
  3. circunferências não são parábolas.

Passo 1

  1. Suponha que uma reta seja uma parábola. Assim, a distância de qualquer ponto X da reta deve ser tal que
  2. d X , r = d X , F

    onde r é a diretriz e F o foco da parábola. Note que:

    1. A reta não poderia ser transversal a r , pois nesse caso, iria intercepta-la em algum ponto, digamos P . Nesse ponto, a distância da reta até r é zero, ao passo que d P , F ≠ 0 , já que, por definição, P ∉ r .
    2. A reta não poderia ser paralela a r , pois nesse caso, a distância de todos os pontos da reta até r seria constante, ao passo que a distância da reta até F iria variar, o que contraria d X , r = d X , F .

    Dessa maneira, esgota-se as possibilidades, mostrando que uma reta não pode ser uma parábola.

    Passo 2

  3. Consideremos a parábola y 2 = 4 p x , como a esquematizada na Figura 22-8.
  4. A posição do foco é F = p ,   0 . Para calcularmos as coordenadas do ponto A , substituímos x por p :

    y A 2 = 4 p ⋅ p ∴ y A 2 = 4 p 2

    Como y > 0 (ver a figura), segue que y A = 2 p .

    Da mesma maneira mostramos que y B = - 2 p .

    Portanto, d A , B = y A - y B = 2 p - - 2 p = 4 p .

    Passo 3

  5. Podemos argumentar que a parábola possui apenas um eixo de simetria, enquanto que a circunferência possui infinitos eixos de simetria passando por seu centro. Dessa maneira, uma circunferência não pode ser uma parábola.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Vértice ( 0 ,0 ) ; aberta para cima; o comprimento do latus rectum 3 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco ( 0 ,- 2 ) ; diretriz y - 2 = 0 .
Ache a equação da parábola que tem vértice na origem, eixo no eixo y e passa pelo ponto ( - 2 ,- 4 ) .
Prove que o comprimento do latus rectum de uma parábola é 4 p .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. y 2 = - 8 x