Enunciado

49. A equação da diretriz de uma parábola é x + y = 0 e se foco está no ponto ( 1 ,   1 ) . Ache (a) a equação do eixo da parábola, (b) as coordenadas do vértice e (c) 0 comprimento do latus rectum.

Passo 1

Primeiro vamos visualizar o que temos através da figura a seguir:

A reta em verde é a nossa reta diretriz e o ponto F é o nosso foco.

Passo 2

Para acharmos a equação do eixo, devemos lembrar que o eixo de uma parábola passa pelo foco e é perpendicular a reta diretriz. Em nossa figura ele fica assim:

A equação que representa essa reta é:

x - y = 0

Passo 3

Para achar as coordenadas do vértice, temos que lembrar que o vértice é o ponto médio entre o foco e a reta diretriz, e como a distância entre esses dois vale 2p, a distancia entre o foco e vértice vale p.

Para achar p basta calcular a distância entre o foco e a reta diretriz, da seguinte maneira:

d = a x 0 + b x 0 + c a 2 + b 2

Onde a, b e c são os coeficientes da equação da reta e x0 e y0 são as coordenadas do ponto, assim:

2 p = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 0 1 + 1 ⇒ 2 p = 2 2 ⇒ p = 2 2

Assim a distância entre o foco e o vértice vale:

2 2

Agora usando a fórmula da distância entre dois pontos que tem a seguinte forma:

d = x - x 1 2 + y - y 1 2

Aplicando o que temos:

2 2 = 1 - x 1 2 + 1 - y 1 2

2 4 = 1 - x 1 2 + 1 - y 1 2

Como o vértice tem que pertencer a reta do eixo da parábola, temos que:

x 1 - y 1 = 0 ⇒ x 1 = y 1

Assim:

2 4 = 1 - x 1 2 + 1 - x 1 2

2 4 = 2 1 - x 1 2

2 4 = 2 1 - 2 x 1 + x 1 2

x 1 2 - 2 x 1 + 3 4 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau vemos que x 1 = 1 2 , então y 1 também é igual 1 2 .

Logo nosso vértice tem coordenadas:

V = 1 2 , 1 2

Passo 4

O comprimento do latus rectum é igual 4 p , então:

4 p ⇒ 4 ⋅ 2 2 = 2 2

Descobrimos então que o comprimento do latus rectum vale 2 2 .

Resposta

  1. x - y = 0
  2. V = 1 2 , 1 2
  3. O comprimento do latus rectum é igual a 2 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

São dados, graficamente, o foco e a diretriz de uma parábola, respectivamente F e r . Descreva um método de construção com régua e compasso:de pontos da parábola, baseado apenas na definição 22-16;da
Sejam P um ponto qualquer de uma parábola, distinto do vértice, R sua projeção ortogonal sobre o eixo da parábola, M e N , respectivamente, os pontos que esse eixo intercepta a reta tangente e a reta
Sejam P : y 2 = 4 p xp0 e P = h ,k . Prove que: Se P pertence à região focal da parábola, nenhuma reta que contém P é tangente a ela;Se P pertence à região côncava determinada pela parábola, existem d
Descreva a construção com régua e compasso de um ponto P da parábola, conhecidos a projeção ortogonal de P sobre o eixo P ' , o foco F e a diretriz r .
Mostre que, com exceção do eixo, toda reta normal a uma parábola é secante a ela.