Enunciado

Um tanque cilíndrico circular reto com uma profundidade de 10 m e um raio de 5 m está cheio de água até a metade. Ache o trabalho necessário para que a água seja bombeada até a borda do tanque.

Passo 1

Sabemos que o trabalho W realizado para levantar uma massa de água de uma altura z é dado por W = m g z , sendo m a massa de água e g o valor da aceleração da gravidade. Devemos então integrar a expressão d W = g z   d m , com d m sendo a massa de um disco de água de altura infinitesimal que está a altura z , com o eixo z tendo a origem no topo do tanque e orientado pra baixo. A integração será feita no intervalo [ 5,10 ] , que é onde temos a coluna de água.

Passo 2

Devemos achar primeiro a expressão da massa d m de cada disco de água. Temos um cilindro de altura infinitesimal d z e área da base A = π ⋅ 5 2 = 25 π , então temos d V = A d z = 25 π   d z . Sendo ρ = 1000 k g m 3 a densidade da água, temos então d m = ρ d V = 25 π ⋅ 1000 = 25000 π   d z . O trabalho infinitesimal d W é então d W = d m   g z = 25000 π g   z d z

Passo 3

Agora podemos integrar para obter W :

W = ∫ 5 10 25000 π g   z d z = 25000 π g z 2 2 5 10 = 12500 π g 10 2 - 5 2 = 937500 π g   J  

Se g=9,81 m/s², W ≈ 28892834   J

Resposta

W = 28.892.834   J

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