Enunciado

53-54. Em cada parte, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se falsa, encontre funções para quais a afirmação não é válida.

53. a) Se f e g forem crescentes em um intervalo, então f + g também será.

Passo 1

Então galera, caso não se lembrem da definição de função crescente:

f   é crescente no intervalo se f x 1 < f x 2 sempre que x 1 < x 2 ”.

Tendo isso em vista, vamos considerar que x 1 e x 2 pertencem a um intervalo I qualquer, beleza? Ademais, vale enfatizar que x 1 < x 2 . Como f e g são crescentes:

f x 1 < f x 2

g x 1 < g x 2

Somando as funções:

f x 1 + g x 1 < f x 2 + g x 2

Disso tiramos que:

f + g x 1 < f + g x 2

Sendo assim, fica provado que a afirmação é verdadeira. De fato a soma das funções também será crescente.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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Mostre que t gxx para 0xπ 2 . [Sugestão: Mostre que f x = t gx - x é crescente em 0 , π 2 ].
Suponha que f seja derivável em um intervalo I e f ' x0 para todos os números x em I , exceto para um único número c . Demonstre que f é uma função crescente em todo o intervalo.
Mostre que e x ≥ 1 + x para x ≥ 0 .Deduza que e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 para x ≥ 0 .Use a indução matemática para demonstrar que para x ≥ 0 e qualquer inteiro positivo n , e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +· · · + x
Suponha que a derivada da função seja f ' x = x - 1 2 x - 3 5 x - 6 4 . Em qual intervalo f está crescendo?
Seja f x = x + e x e seja g a inversa de f . Mostre que g é derivável e que g ' x = 1 1 + e g x .(Sugestão: Veja Exercício 13 - 8.1 )