Enunciado

Mostre que t g   x > x para 0 < x < π 2 . [Sugestão: Mostre que f x = t g   x - x   é crescente em 0 , π 2 ].

Passo 1

Bom galera, se nós chamarmos:

f x = t g   x - x

Se t g   x > x , então a função será crescente neste intervalo. Mas como vamos provar isso?

Para começar vamos derivar nossa função:

f ' x = sec ² ⁡ x - 1

Para que esta derivada seja crescente:

sec ² ⁡ x - 1 > 0

Isolando:

sec ² ⁡ x > 1

Concluindo, esta função será crescente se sec ² ⁡ x for maior que 1. Mas o que é a secante?

sec ² ⁡ x = 1 cos ² ⁡ x

Substituindo:

1 cos ² ⁡ x > 1 → 1 > cos ² ⁡ x

Rearranjando:

cos ² ⁡ x < 1

Muito bem, vamos tirar a raiz:

cos ⁡ x < 1

Como o cosseno está no denominador ele não pode ser 0, então:

0 < cos ⁡ x < 1

Já está fácil ! Pelo círculo trigonométrico ou círculo unitário:

Agora nós podemos concluir que:

0 < x < π 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha que f seja derivável em um intervalo I e f ' x0 para todos os números x em I , exceto para um único número c . Demonstre que f é uma função crescente em todo o intervalo.
Mostre que e x ≥ 1 + x para x ≥ 0 .Deduza que e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 para x ≥ 0 .Use a indução matemática para demonstrar que para x ≥ 0 e qualquer inteiro positivo n , e x ≥ 1 + x + x 2 2 ! +· · · + x
Suponha que a derivada da função seja f ' x = x - 1 2 x - 3 5 x - 6 4 . Em qual intervalo f está crescendo?
Seja f x = x + e x e seja g a inversa de f . Mostre que g é derivável e que g ' x = 1 1 + e g x .(Sugestão: Veja Exercício 13 - 8.1 )
Verifique que.(d)/(d x) [(x^3)/(3) arcsen x + (x^2 + 2)/(9) sqrt(1 - x^2)] = x^2 arcsen x