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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 5.8 - Ex. 54

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54. Uma pedra é atirada para baixo com uma velocidade inicial de v 0 m/s. Despreze a resistência do ar. (a) Mostre que se v m/s for a velocidade da pedra após cair s m, então v = v 0 2 + 2 g s . (b) Ache a velocidade média nos primeiros 30m de queda, se a velocidade inicial for 15 m/s. (Tome g = 10 e a direção positiva para baixo.)

Passo 1

Precisamos provar a letra a) e depois aplicar o teorema do valor médio na b), pois temos o intervalo definido, ok?

Passo 2

a) Precisamos lembrar da relação entre g , s , v e v 0 :

2 a s = v 2 - v 0 2

Nesse caso, a aceleração é g

2 g s = v 2 - v 0 2

Agora isolamos o v

v 2 = v 0 2 + 2 g s

v = v 0 2 + 2 g s

Pronto.

Passo 3

b) Temos v 0 = 15 e g = 10 para s de 0 até 30 (pois a direção positiva é pra baixo ;) )

Então v = 15 2 + 2.10 . s , essa é a nossa função v ( s )

Pra calcular a velocidade média pelo teorema do valor médio:

V M = 1 (   30 - 0 ) ∫ 0   30 15 2 + 2.10 . s   d s

V M = 1 30 ∫ 0   30 225 + 20 . s   d s

Fazendo a substituição u = 225 + 20 s

d u = 20 d s

V M = 1 30 ∫ u   d u 20

V M = 1 600 ∫ u   d u 1

V M = 1 600 u 3 2 . 2 3 = u 3 2 900

Voltando para s em seu intervalo

V M = ( 225 + 20 s ) 3 2 900 0 30

V M = ( 225 + 20.30 ) 3 2 900 - ( 225 + 20.0 ) 3 2 900

V M = 23696,32 - 3375 900 = 22,58   m / s

Calculada a velocidade média

Resposta

a) Demonstração

b)   V M = 22,58   m / s

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