Enunciado

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Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado pelo método usado nos Exemplos 3 e 4 desta secção. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

f x = 1 2 c o s e c   2 x ; - 1 4 π , 1 6 π

Passo 1

Vamos seguir um passo a passo tranquilo pra resolver esses problemas, da mesma forma que o livro faz nos exemplos 3 e 4 desta seção.

  1. Determinar a derivada da função.
  2. Fazer f ' x = 0 e depois encontrar os valores de x para os quais f ' x   não existe.
  3. Achar os valores de x que satisfazem as proposições acima e estão dentro do intervalo especificado.
  4. Dos valores encontrados, o menor vai ser o mínimo absoluto e o maior será o máximo absoluto do intervalo.
  5. Esboçar o gráfico utilizando os valores de máximo e mínimo que temos.

Vamo devagarinho que dá bom!

Passo 2

Antes de tudo, vamos relembrar o gráfico da c o s e c   x :

Lembre-se da relação:

c o s e c   x = 1 s e n   x

Então os pontos que s e n   x = 0 →   c o s e c   x = + ∞ . E também: s e n   x = ± 1 → c o s e c   x = ± 1 . Esse é o jeito mais tranquilo de encontrar o gráfico da c o s e c   x .

Passo 3

Vamos agora para a derivada da função:

d f d x = 1 2 d d x c o s e c   2 x

Aplicando a regra da cadeia e lembrando que d d x csc ⁡ x   = - cot ⁡ x csc ⁡ ( x )

d f d x = 1 2 2 - cot ⁡ 2 x csc ⁡ 2 x

Daí temos a derivada da nossa função:

d f d x = - cot ⁡ 2 x csc ⁡ 2 x

Passo 4

Agora precisamos dos pontos onde a derivada da função não existe ou é igual a 0 . Lembre-se que:

cot ⁡ x = 1 tan ⁡ x

E

csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x

Nenhuma das duas funções se igual a 0 em momento algum, maaaas temos pontos onde elas não existem e vamos nos aproveitar deles. Não vamos nos preocupar muito com os pontos onde a c o s e c não está definida, pois esses pontos também não estarão definidos na nossa função. Vamos à cot ⁡ x .

Precisamos que:

tan ⁡ x = 0

Então:

x = n π

Para qualquer n inteiro.

Mas no nosso caso temos:

- cot ⁡ 2 x csc ⁡ 2 x = 0

Ou seja, a cot ⁡ 2 x precisa que:

2 x = n π

Logo:

x = n π 2

Passo 5

Então precisamos satisfazer a equação acima e o intervalo determinado pela questão também: - 1 4 π , 1 6 π . Podemos ver que o único valor de n que satisfaz ambas as condições é n = 0 . Mas n não pode ser 0 , porque a c s c não está definida na origem!

Passo 6

E agora? O teorema está errado? Toda a matemática está errada? Calma lá, jovem. Vamos reescrever o teorema aqui:

Se a função f for contínua no intervalo fechado [ a ,   b ] , então f terá um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [ a ,   b ] .

Agora repare novamente lá em cima no gráfico da cossecante. Encontrou o problema? A cossecante não é contínua! E nosso teorema não garante que tenhamos máximos e mínimos absolutos em intervalos onde a função é descontínua! E como vimos a partir da nossa analise no passo 4, a função não satisfaz nenhuma das condições que impusemos simultaneamente, então podemos afirmar que a função não possui máximo nem mínimo absoluto no intervalo dado. O gráfico dela fica assim:

Resposta

Não tem extremos absolutos.

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