Enunciado

55-60. Usando a regra de L’Hôpital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0 ,   lim x → + ∞ ⁡ x r ln ⁡ x = + ∞ ,   lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0

Com qualquer número real positivo r . Nestes exercícios:

a) Use esses limites, se necessário, para obter os limites de f x quando x → ∞ e x → 0 + .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Configura seu trabalho com um recurso gráfico.

59. f x = x 2 3 ln ⁡ x

Passo 1

a) Então galera, para calcularmos os limites com x tendendo a + ∞ e com x tendendo a 0 + , caso não haja necessidade de utilizar L’Hôpital, basta aplicarmos os limites, ok? A função que nos foi dada é:

f x = x 2 3 ln ⁡ x

Calculando o primeiro limite, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 3 ln ⁡ x = + ∞

Aqui só aplicamos o limite mesmo, uma vez que não tem como simplificar esse limite e L’Hôpital não ajudaria. Por fim, calculando o segundo limite:

lim x → 0 + ⁡ x 2 3 ln ⁡ x = 0

Aqui utilizamos o resultado dado pelo enunciado, que nos diz:

lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0

Ok, a primeira parte foi finalizada! Do resultado que encontramos podemos concluir que nosso gráfico não possui assíntotas significativas.

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 2 3 x - 1 3 . ln ⁡ x + x 2 3 . 1 x

f ' x = 2 3 x - 1 3 . ln ⁡ x + x - 1 3

f ' x = 2 ln ⁡ x + 3 x 1 3

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

2 ln ⁡ x + 3 x 1 3 = 0

Como x 1 3 não pode ser zero, a única forma disso dar zero é se:

2 ln ⁡ x + 3 = 0

ln ⁡ x = - 3 2

Utilizando a propriedade fundamental de logaritmos, teremos:

x = e - 3 2

E esse é nosso único ponto de extremo, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = 2 x . x 1 3 - 2 ln ⁡ x + 3 . 1 3 x - 2 3 x 2 3

f ' ' x = 2 ln ⁡ x - 3 x 4 3

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

2 ln ⁡ x - 3 x 4 3 = 0

Como x 4 3 não pode ser zero, a única forma disso dar zero é se:

2 ln ⁡ x - 3 = 0

ln ⁡ x = 3 2

Utilizando a propriedade fundamental de logaritmos, teremos:

x = e 3 2

Então esse é nosso ponto de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo na nossa função original os valores importantes de x que encontramos, teremos:

f e - 3 2 = e - 3 2 2 3 ln ⁡ e - 3 2 = - 3 2 e

f e 3 2 = e 3 2 2 3 ln ⁡ e 3 2 = 3 e 2

Show! Por fim, plotando o gráfico da função, teremos:

E pelo gráfico notamos que:

x = e - 3 2 → P o n t o   d e   m í n i m o

x = e 3 2 → P o n t o   d e   i n f l e x ã o

O ponto de inflexão está bastante sutil no gráfico, então é normal que esteja sendo difícil de visualiza-lo, mas a questão é que ele existe, e é essa informação que temos que absorver, ok? Show!

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ y = + ∞

lim x → 0 + ⁡ y = 0

b) Ponto(s) de extremo(s) relativo(s): x = e - 3 2 ;

Ponto(s) de inflexão: x = e 3 2 ;

Gráfico:

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