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O que há de especial nas funções

f(x) = sen^(-1)((x-1)/(x+1)), x >= 0

g(x) = 2t \* g^(-1)(raiz(x))

Explique:

Passo 1

Meio difícil falar o que as duas funções tem de especial sem tirar do contexto que o capítulo se trata de derivada de funções trigonométricas inversas e sem ver seu gráfico. Logo temos aqui os gráficos das funções.

Logo para x > 0 temos o mesmo comportamento da função. A função f ( x ) é proporcional ao g ( x ) , logo vamos derivar as duas funções .

Passo 2

Derivando f ( x )

f = sin - 1 ⁡ x - 1 x + 1

Podemos escrever a expressão da seguinte forma:

sin ⁡ f = x - 1 x + 1

Derivando em relação a x d f d x nos dois lados da equação nós teremos:

cos ⁡ f × d f d x = x - 1 ' x + 1 - ( x - 1 ) ( x + 1 ) ' x + 1 2

Fazendo a regra do produto temos:

cos ⁡ f × d f d x = 2 x + 1 2

Como não temos cos ⁡ f precisamos achar-lo com o que temos que é sin ⁡ f :

cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ f = 1

cos ⁡ f = 1 - sin 2 ⁡ f

cos ⁡ f = 1 - x - 1 x + 1 2

cos ⁡ f = 4 x x + 1 2

Substituindo:

d f d x = 2 x + 1 2 × x + 1 4 x

Como x ≥ 0 , x + 1 nunca pode ser 0 então podemos cortar.

d f d x = 2 2 x ( x + 1 )

d f d x = 1 x ( x + 1 )

Passo 3

Derivando g ( x )

g = 2 t g - 1 x

Podemos escrever essa equação da seguinte forma:

g 2 = t g - 1 x

t g g 2 = x

Agora derivando em relação a x essa equação:

1 2 × d g d x × sec 2 ⁡ g 2 = 1 2 x

d g d x = 1 x × sec 2 ⁡ g 2

Precisa-se substituir a sec 2 ⁡ g 2 :

sin 2 ⁡ g 2 + cos 2 ⁡ g 2 = 1

Dividindo por g 2 :

t g 2 g 2 + 1 = sec 2 ⁡ g 2

Substituindo:

d g d x = 1 x × ( 1 + x )

Passo 4

Logo tanto a função g como a função f tem a mesma derivada, só que f tem uma constante negativa atrelada a ela que é de:

f 0 = sin - 1 ⁡ ( - 1 )

Ou

sin ⁡ f 0 = - 1 →   f 0 = - π 2

Resposta

As duas funções tem a mesma função derivada, a diferença é que f ( x ) começa com a coordenada y , - π 2 abaixo de g ( x )

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