56-

O que há de especial nas funções

f(x) = sen^(-1)(1/raiz(x^2 + 1))

E

g(x) = tg^(-1)(1/x)

Explique

Passo 1

Assim como na questão 55 fica difícil dizer o que há em comum entre elas sem tirar do contexto que estamos no capítulo de derivadas de funções trigonométricas inversas e sem olhar seus gráficos. Começando pelos seus gráficos nós temos:

Pelo gráfico conseguimos ver que para x > 0 as funções se comportam da mesma forma enquanto para x < 0 as funções são reflexo uma da outra no eixo x.

Passo 2

Fazendo a derivada em relação a x de f ( x ) temos:

sin ⁡ f = 1 x 2 + 1

cos ⁡ f × d f d x = 1 ' ( x 2 + 1 - 1 ( x 2 + 1 ) ' x 2 + 1

cos ⁡ f × d f d x = - 2 x 2 x 2 + 1 x 2 + 1 = - x x 2 + 1 3 2

Como não sabemos o valor de cos ⁡ f e sim o do sin ⁡ f iremos utilizar a relação fundamental para substituir:

cos 2 ⁡ f + sin 2 ⁡ f = 1

cos ⁡ f = 1 - sin 2 ⁡ f

Substituindo sin ⁡ f

cos ⁡ f = 1 - 1 x 2 + 1 = x x 2 + 1

d f d x = x 2 + 1 1 2 x 2 + 1 3 2 = - 1 ( x 2 + 1 )

Passo 3

Agora derivando a função g nós temos:

t g   g = 1 x

Derivando a função em relação a x nos dois lados nós temos:

sec 2 ⁡ g × d g d x = - 1 x 2

Precisamos substituir sec 2 ⁡ g :

sin 2 ⁡ g + cos 2 ⁡ g = 1

Dividindo a equação por cos 2 ⁡ g temos:

t g 2 g + 1 = sec 2 ⁡ g

Como t g   g = 1 x

sec 2 ⁡ g = 1 + 1 x 2 = x 2 + 1 x 2

Substituindo:

d g d x = - 1 x 2 × x 2 x 2 + 1

Para x 2 diferente de 0, podemos cortar:

d g d x = - 1 x 2 + 1

Passo 4

Vimos que as duas funções tem a mesma função derivada mas vamos testar a diferença entre ambos para x > 0 e x < 0 .

Vamos utilizar x = 1

f 1 = sin - 1 ⁡ 1 2 = π 4    

g 1 = t g - 1 1 1 = π 4

Logo as duas funções para x positivo são iguais.

Para x = - 1

f - 1 = sin - 1 ⁡ 1 2 = π 4

g - 1 = t g - 1 1 - 1 = - π 4

Logo para x < 0 temos a função g ( x ) negativo mas com mesmo módulo que a função f ( x )

Resposta

As duas funções tem a mesma derivada, porém elas são iguais para x positivo e refletidas em no eixo para x negativo.

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