Enunciado

56-

O que há de especial nas funções

f (x) = sin^(- 1) ((1)/(sqrt(x^2 + 1)))

E

g (x) = t g^(- 1) ((1)/(x))

Explique

Passo 1

Assim como na questão 55 fica difícil dizer o que há em comum entre elas sem tirar do contexto que estamos no capítulo de derivadas de funções trigonométricas inversas e sem olhar seus gráficos. Começando pelos seus gráficos nós temos:

Pelo gráfico conseguimos ver que para x > 0 as funções se comportam da mesma forma enquanto para x < 0 as funções são reflexo uma da outra no eixo x.

Passo 2

Fazendo a derivada em relação a x de f ( x ) temos:

sin f = (1)/(sqrt(x^2 + 1))

cos f xx (d f)/(d x) = (1 ' ( sqrt(x^2 + 1) - 1 ( sqrt(x^2 + 1) ) ')/(x^2 + 1)

cos f xx (d f)/(d x) = - (2 x)/(2 sqrt(x^2 + 1) (x^2 + 1)) = - (x)/((x^2 + 1)^((3)/(2)))

Como não sabemos o valor de cos f e sim o do sin f iremos utilizar a relação fundamental para substituir:

cos^2 f + sin^2 f = 1

cos f = sqrt(1 - sin^2 f)

Substituindo sin f

cos f = sqrt(1 - ((1)/(x^2 + 1))) = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

(d f)/(d x) = ((x^2 + 1)^((1)/(2)))/((x^2 + 1)^((3)/(2))) = - (1)/(( x^2 + 1 ))

Passo 3

Agora derivando a função g nós temos:

t g g = (1)/(x)

Derivando a função em relação a x nos dois lados nós temos:

sec^2 g xx (d g)/(d x) = - (1)/(x^2)

Precisamos substituir sec^2 g :

sin^2 g + cos^2 g = 1

Dividindo a equação por cos^2 g temos:

t g^2 g + 1 = sec^2 g

Como t g g = (1)/(x)

sec^2 g = 1 + (1)/(x^2) = (x^2 + 1)/(x^2)

Substituindo:

(d g)/(d x) = - (1)/(x^2) xx (x^2)/(x^2 + 1)

Para x^2 diferente de 0, podemos cortar:

(d g)/(d x) = - (1)/(x^2 + 1)

Passo 4

Vimos que as duas funções tem a mesma função derivada mas vamos testar a diferença entre ambos para x > 0 e x < 0 .

Vamos utilizar x = 1

f (1) = sin^(- 1) ((1)/(sqrt(2))) = (pi)/(4)

g (1) = t g^(- 1) ((1)/(1)) = (pi)/(4)

Logo as duas funções para x positivo são iguais.

Para x = - 1

f (- 1) = sin^(- 1) ((1)/(sqrt(2))) = (pi)/(4)

g (- 1) = t g^(- 1) ((1)/(- 1)) = - (pi)/(4)

Logo para x < 0 temos a função g ( x ) negativo mas com mesmo módulo que a função f ( x )

Resposta

As duas funções tem a mesma derivada, porém elas são iguais para x positivo e refletidas em no eixo para x negativo.

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