Enunciado

Nos Exercícios 7-10, identifique, a partir de seu gráfico, se a função é injetora.

10. f x = 2 - x ² ,     x ≤ 1 x ² ,     x > 1

Passo 1

Para resolvermos os exercícios do 7-10, devemos lembrar da definição de função injetora, tudo bem?

Uma função f ( x ) é injetora em um domínio D se f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) , sempre que x 1 ≠ x 2 em D .

Há duas formas de provar se uma função é injetora ou não. A primeira é pelo gráfico. Se traçarmos uma reta paralela ao eixo x (imaginária) e o gráfico da função tocar a reta 2 vezes, isso implica que a função não é injetora; mas caso toque apenas 1 vez, isso implica que a função é injetora.

A segunda maneira é usando a definição e atribuindo valores a x , ou seja, se aplicarmos 2 valores distintos de x na função e der o mesmo valor de y , isso implica que a função não é injetora.

Passo 2

Agora que sabemos como provar a injetividade, vamos plotar o gráfico das funções que nos foi dada, beleza? O gráfico vai ser o seguinte:

No qual f x = 2 - x ² é a função verde e f x = x ² é a função azul.

Passo 3

Por fim, se utilizarmos a primeira maneira para provar se a função é injetora, teremos:

Para x ≤ 1 ⇒ f x = 2 - x ² . Sendo assim, se traçarmos retas paralelas ao eixo x é nítido que as retas tocarão a função em mais de um ponto, ou seja:

Portanto, para x ≤ 1 , f ( x ) não é injetora!

Para x > 1 ⇒ f x = x 2 . Sendo assim, se também traçarmos retas paralelas ao eixo x, teremos que as retas tocarão a função em apenas um ponto, ou seja:

Portanto, para x > 1 , f ( x ) é injetora!

Como uma parte do domínio não é injetora, isso significa que f ( x ) não é injetora!

Resposta

f ( x ) não é injetora.

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