Enunciado

31-34 Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta [No exercício 34, suponha que o quadrado girado fique no plano x y   à direitado eixo y ]

34. Girando um quadrado em torno de seu centro, é possível mudar o volume do sólido de revolução obtido girando o quadrado em torno do eixo y .

Passo 1

Nessa questão, calcularemos primeiro o volume do sólido de revolução em torno do eixo y e depois giraremos o quadrado em torno do seu centro e calcularemos o volume do sólido de revolução em torno do eixo y !

Após isso, compararemos esses dois volumes.

Vamos começar a desenhando o primeiro quadrado, o centroide é o ponto E .

A distância entre o centroide e o eixo y vamos chamar de d .

Passo 2

Vamos fazer a rotação em torno do eixo y agora e utilizar o teorema de papus para calcular o volume.

A distância percorrida pelo centroide E é igual a 2 π d . Lembrando que d é a distância entre o centroide E e o eixo y e quando você rotacional, você está formando uma circunferência

Utilizando o Teorema de Papus, temos: V = 2 π d A

Em que A é a área do quadrado!

Passo 3

Agora vamos rotacionar o quadrado em torno do centroide e desenhar a sua rotação em torno do eixo y :

Ora, o centroide vai deslocar o mesmo comprimento se fizermos pelo quadrado antigo ou novo! E além disso, esses quadrados vão ter a mesma área!

Lembrando do Teorema de Papus, temos:

v o l u m e = ( á r e a   d e   R ) × ( d i s t â n c i a   p e r c o r r i d a   p e l o   c e n t r o i d e )

Como as áreas e as distância percorridas são iguais, podemos afirmar que os volumes das duas figuras rotacionadas são iguais também!

Então, não é possível mudarmos o volume da figura, apenas rotacionando o quadrado em torno do centroide, teríamos que transladá-lo. O que nos mostra que essa afirmativa é falsa.

Resposta

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