Enunciado

Encontre o centroide da região.

A metade superior da elipse x a 2 +   y b 2 = 1 .

Passo 1

Para calcularmos, começamos subtraindo ambos os lados por 1 :

x a 2 +   y b 2 - 1 = 1 - 1

Colocando em evidencia o x 2 :

1 a 2 + 1 b 2 x 2 - 1 = 0

Podemos resolver pela formula geral da equação quadrática, a x 2 + b x + c = 0 , portanto a = 1 a 2 + 1 b 2 , b = 0 e c = - 1 . As raízes são dadas por:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Portanto,

x 1 = - 0 + 0 2 - 4 × 1 a 2 + 1 b 2 × ( - 1 ) 2 × 1 a 2 + 1 b 2 = a b a 2 + b 2 b 2 + a 2

x 2 = - 0 - 0 2 - 4 × 1 a 2 + 1 b 2 × ( - 1 ) 2 × 1 a 2 + 1 b 2 = - a b a 2 + b 2 b 2 + a 2

Prontinho!!

Resposta

x 1 = a b a 2 + b 2 b 2 + a 2

x 2 = - a b a 2 + b 2 b 2 + a 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade: ∫ - π / 6 π / 6 cos 2 ⁡ x d x ≤ π 3
Ache o valor de χ que satisfaz o teorema do valor médio para integrais para a integral a seguir. Faça uma figura ilustrando a aplicação do teorema. ∫ 2 4 x 2 = 56 3
Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade: 0 ≤ ∫ - 1 / 2 1 / 2 cos ⁡ π x ≤ 1
Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade: ∫ 0 2 1 x 2 + 4 d x ≤ 1 2
Use o teorema do valor médio para integrais para provar a desigualdade: ∫ 0 π sen ⁡ x d x ≤ π